题目
6.10有一弹簧,当其下端挂一质量为m的物体时,伸长量为 .8times (10)^-2m. 若使物体上下-|||-振动,且规定向下为正方向,求以下两种情况的运动方程.(1) t=0 时,物体在平衡位置上方-|||-.0times (10)^-2m 处,由静止开始向下运动;(2) t=0 时,物体在平衡位置并以 .60mcdot (s)^-1 的速度向-|||-上运动.

题目解答
答案

解析
考查要点:本题主要考查简谐运动的运动方程建立,涉及弹簧振子的角频率计算及初始条件的应用。
解题核心思路:
- 确定角频率:利用弹簧的伸长量计算劲度系数$k$,进而得到角频率$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$。通过伸长量公式$\Delta L = \dfrac{mg}{k}$可推导出$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{\Delta L}}$。
- 建立运动方程:一般形式为$x = A\cos(\omega t + \phi)$,需根据初始条件确定振幅$A$和初相位$\phi$。
- 处理初始条件:通过位移和速度的初始值联立方程,解出$A$和$\phi$。
破题关键点:
- 符号规则:题目规定向下为正,平衡位置上方的位移为负。
- 相位选择:根据初始位移和速度的方向,确定余弦函数的相位角。
第(1)题
计算角频率$\omega$
由伸长量$\Delta L = 9.8 \times 10^{-2} \, \text{m}$,得:
$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{\Delta L}} = \sqrt{\dfrac{9.8}{9.8 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \, \text{rad/s}.$
确定振幅$A$和初相位$\phi$
- 初始位移:$t=0$时,物体在平衡位置上方$8.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$,即$x(0) = -8.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$(向下为正)。
- 初始速度:$v(0) = 0$。
- 代入运动方程$x = A\cos(\omega t + \phi)$及其导数$v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$:
$\begin{cases} -8.0 \times 10^{-2} = A\cos\phi, \\ 0 = -A\omega \sin\phi. \end{cases}$ - 由第二式得$\sin\phi = 0$,故$\phi = 0$或$\pi$。结合第一式$\cos\phi < 0$,得$\phi = \pi$,振幅$A = 8.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$。
运动方程:
$x_1 = 8.0 \times 10^{-2} \cos(10t + \pi).$
第(2)题
确定振幅$A$和初相位$\phi$
- 初始位移:$t=0$时,物体在平衡位置,即$x(0) = 0$。
- 初始速度:$v(0) = -0.60 \, \text{m/s}$(向上为负)。
- 代入运动方程及导数:
$\begin{cases} 0 = A\cos\phi, \\ -0.60 = -A\omega \sin\phi. \end{cases}$ - 由第一式得$\cos\phi = 0$,故$\phi = \dfrac{\pi}{2}$或$\dfrac{3\pi}{2}$。结合第二式$\sin\phi > 0$,得$\phi = \dfrac{\pi}{2}$,振幅$A = \dfrac{0.60}{10} = 6.0 \times 10^{-2} \, \text{m}$。
运动方程:
$x_2 = 6.0 \times 10^{-2} \cos\left(10t + \dfrac{\pi}{2}\right).$