为什么t=0时v=0一质量为0.01kg的物体作简谐振动,其振幅为0.08m,周期为4 s,起始时刻物-|||-x=0.04m 处,向Ox轴负方向运动(图 9-8 ).试求:-|||-(1) t=1.0s 时,物体所处的位置和所受的力;-|||-(2)由起始位置运动到 x=-0.04m 处所需要的最短时间.-|||--0.08 -0.04 0 0.04 0.08 x/m

考查要点：本题主要考查简谐振动的基本方程建立及物理量的计算，包括位移、速度、受力的分析，以及相位变化的应用。

解题核心思路：

1. 确定振动方程：根据振幅、周期、初始条件（位置和速度方向）确定简谐振动的表达式。
2. 物理量计算：通过振动方程求导得到速度和加速度，结合胡克定律计算受力。
3. 相位分析：利用相位差计算物体运动到特定位置所需时间。

破题关键点：

• 初始条件分析：t=0时物体位于$x=0.04\,\text{m}$，且向负方向运动，说明此时速度为负，相位角需满足此条件。
• 振动方程形式：选择余弦函数形式$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$，通过初始条件确定相位$\phi$。
• 受力公式：简谐振动的回复力$F=-kx$，结合胡克定律$k=m\omega^2$计算。

第（1）题：求$t=1.0\,\text{s}$时的位置和受力

确定振动方程

1. 振幅与周期：已知振幅$A=0.08\,\text{m}$，周期$T=4\,\text{s}$，角频率$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}\,\text{rad/s}$。
2. 初始条件：$t=0$时$x=0.04\,\text{m}$，速度$v<0$。代入振动方程：
   $x(0)=0.08\cos\phi=0.04 \implies \cos\phi=\frac{1}{2} \implies \phi=\frac{\pi}{3} \quad (\text{因速度为负，取第一象限相位})$
   振动方程为：
   $x(t)=0.08\cos\left(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{3}\right)$

计算$t=1.0\,\text{s}$时的位置

$x(1)=0.08\cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot1+\frac{\pi}{3}\right)=0.08\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=0.08\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx-0.069\,\text{m}$

计算受力

1. 角频率与弹性系数：$\omega=\frac{\pi}{2}$，$k=m\omega^2=0.01\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\approx0.02467\,\text{N/m}$。
2. 回复力：$F=-kx= -0.02467\cdot(-0.069)\approx0.0017\,\text{N}$。

第（2）题：求从$x=0.04\,\text{m}$到$x=-0.04\,\text{m}$的最短时间

相位差分析

1. 初始相位：$\phi_1=\frac{\pi}{3}$（对应$x=0.04\,\text{m}$）。
2. 目标位置相位：$x=-0.04\,\text{m}$对应$\cos(\omega t+\phi)=-\frac{1}{2}$，即$\omega t+\phi=\frac{2\pi}{3}$。
3. 时间计算：
   $\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3} \implies t=\frac{\pi/3}{\pi/2}=\frac{2}{3}\,\text{s}$