例1 质量 m=1kg 的质点从O点开始沿半径 =2ml 的-|||-圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动-|||-方程为 =0.5pi (t)^2 试求从 _(1)=sqrt (2)S 到 _(2)=2s 这段-|||-时间内质点所受合外力的冲量。-|||-0

步骤 1：计算 ${t}_{1}=\sqrt {2}s$ 时的路程
根据质点的运动方程 $S=0.5\pi {t}^{2}$，代入 ${t}_{1}=\sqrt {2}s$，得到 ${S}_{1}=0.5\pi {{t}_{1}}^{2}=\pi m$。这意味着质点转了1/4圆周。
步骤 2：计算 ${t}_{2}=2s$ 时的路程
同样根据质点的运动方程 $S=0.5\pi {t}^{2}$，代入 ${t}_{2}=2s$，得到 ${S}_{2}=0.5\pi {{t}_{2}}^{2}=2\pi m$。这意味着质点转了3/4圆周。
步骤 3：计算质点的速率
路程对时间求导可得速率方程 $v=s'=0.5\pi 2t=\pi t$。
步骤 4：计算 ${t}_{1}=\sqrt {2}s$ 时的速率
代入 ${t}_{1}=\sqrt {2}s$，得到 ${v}_{1}=\pi {t}_{1}=\sqrt {2}\pi m/s$。
步骤 5：计算 ${t}_{2}=2s$ 时的速率
代入 ${t}_{2}=2s$，得到 ${v}_{2}=\pi {t}_{2}=2\pi m/s$。
步骤 6：计算质点动量变化
质点动量变化 $\Delta p=m({v}_{2}-{v}_{1})=1kg(2\pi m/s-\sqrt {2}\pi m/s)=\pi (2-\sqrt {2})kg\cdot m/s$。
步骤 7：计算合外力的冲量
根据动量定理，合外力的冲量 $I=\Delta p=\pi (2-\sqrt {2})kg\cdot m/s$。简化后得到 $I=\sqrt {6}\pi N\cdot s$。