题目
(本题12分) (2006) 一无限长圆柱形铜导体(磁导率),半径为R,通有均匀分布的电流I.今取一矩形平面S (长为1 m,宽为2 R),位置如右图中画斜线部分所示,求通过该矩形平面的磁通量.
(本题12分) (2006)
一无限长圆柱形铜导体(磁导率),半径为R,通有均匀分布的电流I.今取一矩形平面S (长为1 m,宽为2 R),位置如右图中画斜线部分所示,求通过该矩形平面的磁通量.
题目解答
答案
(本题12分) (2006)
解:在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小,由安培环路定
律可得: 
因而,穿过导体内画斜线部分平面的磁通1为
在圆形导体外,与导体中心轴线相距r处的磁感强度大小为
因而,穿过导体外画斜线部分平面的磁通2为
穿过整个矩形平面的磁通量 
解析
步骤 1：确定圆柱形导体内部的磁感强度
根据安培环路定理，圆柱形导体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小为：
$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi {R}^{2}}r(r\leqslant R)$
步骤 2：计算圆柱形导体内部的磁通量
穿过导体内画斜线部分平面的磁通量1为：
${\Phi }_{1}=\int \overrightarrow {B}\cdot d\overrightarrow {S}=\int BdS$$={\int }_{0}^{R}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi {R}^{2}}rdr$$=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi }$
步骤 3：确定圆柱形导体外部的磁感强度
在圆形导体外，与导体中心轴线相距r处的磁感强度大小为：
$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}(r\gt R)$
步骤 4：计算圆柱形导体外部的磁通量
穿过导体外画斜线部分平面的磁通量2为：
${\phi }_{2}=\int \overrightarrow {B}\cdot d\overrightarrow {s}$$=\int \dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}dr$$=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln 2$
步骤 5：计算整个矩形平面的磁通量
穿过整个矩形平面的磁通量为：
$\phi ={\phi }_{1}+{\phi }_{2}$$=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi }$$+\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln 2$
根据安培环路定理，圆柱形导体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小为：
$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi {R}^{2}}r(r\leqslant R)$
步骤 2：计算圆柱形导体内部的磁通量
穿过导体内画斜线部分平面的磁通量1为：
${\Phi }_{1}=\int \overrightarrow {B}\cdot d\overrightarrow {S}=\int BdS$$={\int }_{0}^{R}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi {R}^{2}}rdr$$=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi }$
步骤 3：确定圆柱形导体外部的磁感强度
在圆形导体外，与导体中心轴线相距r处的磁感强度大小为：
$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}(r\gt R)$
步骤 4：计算圆柱形导体外部的磁通量
穿过导体外画斜线部分平面的磁通量2为：
${\phi }_{2}=\int \overrightarrow {B}\cdot d\overrightarrow {s}$$=\int \dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}dr$$=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln 2$
步骤 5：计算整个矩形平面的磁通量
穿过整个矩形平面的磁通量为：
$\phi ={\phi }_{1}+{\phi }_{2}$$=\dfrac {{\mu }_{0}I}{4\pi }$$+\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln 2$