题目
5-10 若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上,求证:-|||-(1)在棒的延长线上,且离棒中心为r处的电场强度为-|||-=dfrac (1)(pi {varepsilon )_(0)}dfrac (Q)(4{r)^2-(L)^2}-|||-(2)在棒的垂直平分线上,且离棒为r处的电场强度为-|||-=dfrac (1)(2pi {varepsilon )_(0)}dfrac (Q)(sqrt {4{r)^2+(l)^2}}-|||-若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直导线的电场强度.-|||-相比较.
题目解答
答案
分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图(a)所示,在长直线上任意取一线元dx,其电荷量为 dq=Qdx/L ,它在点P的电场强度为 dE=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{dq}{r^{\\prime 2}}e_{r}B y)P r O \\alpha>dx D x dE x L O(a) 题 5-10 图整个带电体在点P的电场强度为 E=\\in{t}dE 接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P激发的电场强度方向相同, E=\\in{t}_{L}dEi(2) 若点P在棒的垂直平分线上,则电场强度E沿x轴方向的分量因左右对称,叠加为零.因此,点P的电场强度为 E=\\in{t}_{L}dE_{y}j=\\in{t}_{L}\\sin \\alpha dEj 证(1)延长线上一点P的电场强度 E=\\in{t}_{L}\\frac{dq}{4 \\pi s_{0}r^{\\prime 2}} 利用几何关系 r'=r-x 统一积分变量,则 E_{P}=\\in{t}_{-L/2}^{L/2}\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{Qdx}{L(r-x)^{2}}=\\frac{Q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} 电场强度的方向沿x轴.(2)根据以上分析,中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴,大小为 E=\\in{t}_{L}\\frac{\\sin \\alpha dq}{4 \\pi \\varepsilon_{0}r^{\\prime 2}} 利用几何关系 \\sin \\alpha=r/r',r'=\\sqrt{r^{2}+x^{2}} 充一积分变量,则 E=\\in{t}_{-L/2}^{L/2}\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{rQdx}{L(x^{2}+r^{2})^{\\frac{3}{2}}}=\\frac{Q}{ 若棒单位长度所带电荷 \\lambda 为常量,当棒长 L \\rightarrow \\inf{ty} 时,点P的电场强度为 E=\\lim{_}{L \\rightarrow \\inf{ty}}\\frac{1}{2 \\pi \\varepsilon_{0}r}\\frac{Q/L}{\\sqrt{1+4 r^{2}/L^{2}}}=\\frac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_{0}r} 如图(b)所示,此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同.这说明只要满足 r^{2}/L^{2}<1 ,带电长直细棒可视为无限长带电直线.
解析
步骤 1：确定电荷分布和积分变量
细棒上的电荷Q均匀分布，因此线电荷密度为 $\lambda = \frac{Q}{L}$。在棒的延长线上，选取坐标系，棒的中心为原点，棒沿x轴方向，棒的延长线上的点P的坐标为(r,0)。在棒的垂直平分线上，选取坐标系，棒的中心为原点，棒沿x轴方向，垂直平分线上的点P的坐标为(0,r)。
步骤 2：计算延长线上点P的电场强度
在棒的延长线上，选取棒上任意一点x处的电荷元dq，其电荷量为 $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$。该电荷元在点P产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{(r-x)^2} \hat{i}$。整个棒在点P产生的电场强度为 $E = \int_{-L/2}^{L/2} dE = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{(r-x)^2} \hat{i}$。计算积分，得到 $E = \frac{1}{\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4r^2 - L^2} \hat{i}$。
步骤 3：计算垂直平分线上点P的电场强度
在棒的垂直平分线上，选取棒上任意一点x处的电荷元dq，其电荷量为 $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$。该电荷元在点P产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r'^2} \hat{r'}$，其中 $r' = \sqrt{r^2 + x^2}$。整个棒在点P产生的电场强度为 $E = \int_{-L/2}^{L/2} dE_y = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{r dx}{(r^2 + x^2)^{3/2}} \hat{j}$。计算积分，得到 $E = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0 r} \frac{Q}{\sqrt{4r^2 + L^2}} \hat{j}$。
步骤 4：比较无限长棒的电场强度
当棒的长度L趋向于无穷大时，棒可以视为无限长带电直导线。此时，垂直平分线上点P的电场强度为 $E = \lim_{L \to \infty} \frac{1}{2\pi \varepsilon_0 r} \frac{Q}{\sqrt{4r^2 + L^2}} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$，其中 $\lambda = \frac{Q}{L}$。这与无限长均匀带电直导线的电场强度公式一致。
细棒上的电荷Q均匀分布，因此线电荷密度为 $\lambda = \frac{Q}{L}$。在棒的延长线上，选取坐标系，棒的中心为原点，棒沿x轴方向，棒的延长线上的点P的坐标为(r,0)。在棒的垂直平分线上，选取坐标系，棒的中心为原点，棒沿x轴方向，垂直平分线上的点P的坐标为(0,r)。
步骤 2：计算延长线上点P的电场强度
在棒的延长线上，选取棒上任意一点x处的电荷元dq，其电荷量为 $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$。该电荷元在点P产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{(r-x)^2} \hat{i}$。整个棒在点P产生的电场强度为 $E = \int_{-L/2}^{L/2} dE = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{(r-x)^2} \hat{i}$。计算积分，得到 $E = \frac{1}{\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4r^2 - L^2} \hat{i}$。
步骤 3：计算垂直平分线上点P的电场强度
在棒的垂直平分线上，选取棒上任意一点x处的电荷元dq，其电荷量为 $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$。该电荷元在点P产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r'^2} \hat{r'}$，其中 $r' = \sqrt{r^2 + x^2}$。整个棒在点P产生的电场强度为 $E = \int_{-L/2}^{L/2} dE_y = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{r dx}{(r^2 + x^2)^{3/2}} \hat{j}$。计算积分，得到 $E = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0 r} \frac{Q}{\sqrt{4r^2 + L^2}} \hat{j}$。
步骤 4：比较无限长棒的电场强度
当棒的长度L趋向于无穷大时，棒可以视为无限长带电直导线。此时，垂直平分线上点P的电场强度为 $E = \lim_{L \to \infty} \frac{1}{2\pi \varepsilon_0 r} \frac{Q}{\sqrt{4r^2 + L^2}} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$，其中 $\lambda = \frac{Q}{L}$。这与无限长均匀带电直导线的电场强度公式一致。