题目
一个半径R的球体内,分布着体密度为的电荷,式中r为到球心的径向距离,k为常数。该带电球体外任意一点处的电场强度大小和电势是:A.。B.;C.;D.;
一个半径R的球体内,分布着体密度为
的电荷,式中r为到球心的径向距离,k为常数。该带电球体外任意一点处的电场强度大小和电势是:
A.
。
B.
;
C.
;
D.
;
题目解答
答案
电荷分布： 体密度
。为了计算电荷总量 (Q)，我们需要积分电荷密度：
电场强度： 在球体外部（距离球心 (r) 处），使用高斯定律：
电势： 从无穷远处到距离球心 (r) 的电势：
因此，正确的答案是：
B. 
解析
步骤 1：计算球体内的总电荷量
球体内的电荷体密度为 $\rho = kr$，其中 $r$ 是到球心的径向距离，$k$ 是常数。为了计算球体内的总电荷量 $Q$，我们需要对电荷密度进行积分：
$$Q = \int_0^R \rho \cdot 4\pi r^2 dr = \int_0^R kr \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^R r^3 dr = 4\pi k \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \pi k R^4$$
步骤 2：计算球体外任意一点处的电场强度
在球体外部（距离球心 $r$ 处），使用高斯定律计算电场强度 $E$：
$$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
$$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{\pi k R^4}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 r^2}$$
步骤 3：计算球体外任意一点处的电势
从无穷远处到距离球心 $r$ 的电势 $\varphi$：
$$\varphi = -\int_{\infty}^{r} E dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 t^2} dt = -\left[-\frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 t}\right]_{\infty}^{r} = \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 r}$$
球体内的电荷体密度为 $\rho = kr$，其中 $r$ 是到球心的径向距离，$k$ 是常数。为了计算球体内的总电荷量 $Q$，我们需要对电荷密度进行积分：
$$Q = \int_0^R \rho \cdot 4\pi r^2 dr = \int_0^R kr \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^R r^3 dr = 4\pi k \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \pi k R^4$$
步骤 2：计算球体外任意一点处的电场强度
在球体外部（距离球心 $r$ 处），使用高斯定律计算电场强度 $E$：
$$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
$$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{\pi k R^4}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 r^2}$$
步骤 3：计算球体外任意一点处的电势
从无穷远处到距离球心 $r$ 的电势 $\varphi$：
$$\varphi = -\int_{\infty}^{r} E dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 t^2} dt = -\left[-\frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 t}\right]_{\infty}^{r} = \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 r}$$