题目
9-30 质量 m=10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统,按 x=-|||-.5cos (8pi t+dfrac (pi )(3)) (式中x的单位为cm,t的单位为s)的规律作自由振动,求:-|||-(1)振动的角频率、周期、振幅和初相;(2)振动的能量;(3)一个周期内的平均-|||-动能和平均势能.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动的角频率、周期、振幅和初相
根据给定的振动方程 $x=0.5\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$，我们可以直接读出角频率 $\omega$、振幅 A 和初相 $\varphi$。周期 T 可以通过角频率 $\omega$ 计算得出。
步骤 2：计算振动的能量
振动的能量 $E$ 可以通过公式 $E=\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}$ 计算得出，其中 m 是小球的质量，A 是振幅，$\omega$ 是角频率。
步骤 3：计算一个周期内的平均动能和平均势能
在一个周期内，动能和势能的平均值可以通过积分计算得出。动能的平均值 ${\overline {E}}_{k}$ 和势能的平均值 ${\overline {E}}_{p}$ 可以通过公式 ${\overline {E}}_{k}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}{\sin }^{2}(\omega t+\varphi )dt$ 和 ${\overline {E}}_{p}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}{\cos }^{2}(\omega t+\varphi )dt$ 计算得出。
根据给定的振动方程 $x=0.5\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$，我们可以直接读出角频率 $\omega$、振幅 A 和初相 $\varphi$。周期 T 可以通过角频率 $\omega$ 计算得出。
步骤 2：计算振动的能量
振动的能量 $E$ 可以通过公式 $E=\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}$ 计算得出，其中 m 是小球的质量，A 是振幅，$\omega$ 是角频率。
步骤 3：计算一个周期内的平均动能和平均势能
在一个周期内，动能和势能的平均值可以通过积分计算得出。动能的平均值 ${\overline {E}}_{k}$ 和势能的平均值 ${\overline {E}}_{p}$ 可以通过公式 ${\overline {E}}_{k}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}{\sin }^{2}(\omega t+\varphi )dt$ 和 ${\overline {E}}_{p}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}{\cos }^{2}(\omega t+\varphi )dt$ 计算得出。