题目
3.12 矩形均质薄片ABCD,边长为a与b,重为mg,绕竖直轴AB以初角速w0转动.此-|||-时薄片的每一部分均受到空气的阻力,其方向垂直于薄片的平面,其量值与面积及速度平方-|||-成正比,比例系数为k.问经过多少时间后,薄片的角速减为初角速的一半?-|||-w-|||-1-|||-B C-|||-b-|||-A a D-|||-第3.12题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定矩形薄片的转动惯量
矩形均质薄片绕竖直轴AB转动，其转动惯量为：
\[ I = \frac{1}{3} m b^2 \]
步骤 2：确定空气阻力矩
空气阻力矩与速度平方成正比，速度为角速度与距离的乘积，即：
\[ \tau = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} v^2 dA = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} (\omega r)^2 dA = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} (\omega y)^2 dA \]
其中，r为距离轴AB的距离，y为距离轴AB的垂直距离，dA为面积微元。将速度平方代入，得到：
\[ \tau = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} (\omega y)^2 dy dx = -k \omega^2 \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} y^2 dy dx \]
步骤 3：计算空气阻力矩
计算积分，得到：
\[ \tau = -k \omega^2 \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{b} y^2 dy = -k \omega^2 \int_{0}^{a} dx \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{b} = -k \omega^2 \int_{0}^{a} \frac{b^3}{3} dx = -k \omega^2 \frac{b^3}{3} \int_{0}^{a} dx = -k \omega^2 \frac{b^3}{3} a \]
步骤 4：建立角动量定理方程
根据角动量定理，有：
\[ \tau = I \frac{d\omega}{dt} \]
代入转动惯量和空气阻力矩，得到：
\[ -k \omega^2 \frac{b^3}{3} a = \frac{1}{3} m b^2 \frac{d\omega}{dt} \]
步骤 5：求解微分方程
分离变量，得到：
\[ \frac{d\omega}{\omega^2} = -\frac{3kab}{m} dt \]
积分，得到：
\[ \int_{\omega_0}^{\omega} \frac{d\omega}{\omega^2} = -\frac{3kab}{m} \int_{0}^{t} dt \]
\[ -\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
步骤 6：求解时间
当角速度减为初角速的一半时，有：
\[ -\frac{1}{\frac{1}{2}\omega_0} + \frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
\[ -\frac{2}{\omega_0} + \frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
\[ -\frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
\[ t = \frac{m}{3kab\omega_0} \]
矩形均质薄片绕竖直轴AB转动，其转动惯量为：
\[ I = \frac{1}{3} m b^2 \]
步骤 2：确定空气阻力矩
空气阻力矩与速度平方成正比，速度为角速度与距离的乘积，即：
\[ \tau = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} v^2 dA = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} (\omega r)^2 dA = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} (\omega y)^2 dA \]
其中，r为距离轴AB的距离，y为距离轴AB的垂直距离，dA为面积微元。将速度平方代入，得到：
\[ \tau = -k \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} (\omega y)^2 dy dx = -k \omega^2 \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} y^2 dy dx \]
步骤 3：计算空气阻力矩
计算积分，得到：
\[ \tau = -k \omega^2 \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{b} y^2 dy = -k \omega^2 \int_{0}^{a} dx \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{b} = -k \omega^2 \int_{0}^{a} \frac{b^3}{3} dx = -k \omega^2 \frac{b^3}{3} \int_{0}^{a} dx = -k \omega^2 \frac{b^3}{3} a \]
步骤 4：建立角动量定理方程
根据角动量定理，有：
\[ \tau = I \frac{d\omega}{dt} \]
代入转动惯量和空气阻力矩，得到：
\[ -k \omega^2 \frac{b^3}{3} a = \frac{1}{3} m b^2 \frac{d\omega}{dt} \]
步骤 5：求解微分方程
分离变量，得到：
\[ \frac{d\omega}{\omega^2} = -\frac{3kab}{m} dt \]
积分，得到：
\[ \int_{\omega_0}^{\omega} \frac{d\omega}{\omega^2} = -\frac{3kab}{m} \int_{0}^{t} dt \]
\[ -\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
步骤 6：求解时间
当角速度减为初角速的一半时，有：
\[ -\frac{1}{\frac{1}{2}\omega_0} + \frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
\[ -\frac{2}{\omega_0} + \frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
\[ -\frac{1}{\omega_0} = -\frac{3kab}{m} t \]
\[ t = \frac{m}{3kab\omega_0} \]