9.一个圆柱形容器的底部直径是d cm,高是hcm.现在以 (cm)^3/s-|||-的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度x(单位:cm)-|||-关于注入溶液的时间t(单位:s)的函数解析式,并写出函数的定-|||-义域和值域.
题目解答
答案
【答案】
函数的解析式为$x=\dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}$，其定义域为$\left[0,\dfrac{\pi {d}^{2}h}{4v}\right]$，值域为$\left[0,h\right]$
【解析】
依题意可得$vt=\pi {\left(\dfrac{d}{2}\right)}^{2}x$，则$x=\dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}$.
$\because 0\leqslant x\leqslant h$，即$0\leqslant \dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}\leqslant h$，
$\therefore 0\leqslant t\leqslant \dfrac{\pi {d}^{2}h}{4v}$.
综上所述，所求函数的解析式为$x=\dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}$，其定义域为$\left[0,\dfrac{\pi {d}^{2}h}{4v}\right]$，值域为$\left[0,h\right]$.
解析
考查要点：本题主要考查圆柱体积公式的应用，以及如何根据物理量之间的关系建立函数模型，同时确定函数的定义域和值域。
解题核心思路：
- 体积关系：注入溶液的体积等于圆柱容器内溶液的体积。
- 公式推导：利用圆柱体积公式 $V = \pi r^2 x$，结合注入速度 $v$ 和时间 $t$ 的关系 $V = vt$，建立方程并解出 $x$ 关于 $t$ 的表达式。
- 定义域与值域：根据容器高度限制 $0 \leq x \leq h$，反推出时间 $t$ 的范围，进而确定函数的定义域和值域。
破题关键点：
- 正确计算底面积：圆柱底面半径为 $\dfrac{d}{2}$，底面积为 $\pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2$。
- 建立体积等式：注入体积 $vt$ 等于溶液体积 $\pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2 x$。
- 边界条件：当容器注满时，$x = h$，对应时间 $t$ 的最大值。
步骤1：建立体积关系式
注入溶液的体积为 $vt$，该体积等于容器内溶液的体积 $\pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2 x$，因此有：
$vt = \pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2 x$
步骤2：解方程求$x$
将方程变形为：
$x = \dfrac{vt}{\pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2} = \dfrac{4vt}{\pi d^2}$
步骤3：确定定义域
由于容器高度限制 $0 \leq x \leq h$，代入 $x = \dfrac{4vt}{\pi d^2}$ 得：
$0 \leq \dfrac{4vt}{\pi d^2} \leq h$
解得时间范围：
$0 \leq t \leq \dfrac{\pi d^2 h}{4v}$
因此定义域为 $\left[ 0, \dfrac{\pi d^2 h}{4v} \right]$。
步骤4：确定值域
当 $t$ 从 $0$ 增加到 $\dfrac{\pi d^2 h}{4v}$ 时，$x$ 从 $0$ 增加到 $h$，因此值域为 $\left[ 0, h \right]$。