题目
9.一个圆柱形容器的底部直径是d cm,高是hcm.现在以 (cm)^3/s-|||-的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度x(单位:cm)-|||-关于注入溶液的时间t(单位:s)的函数解析式,并写出函数的定-|||-义域和值域.
题目解答
答案
【答案】
函数的解析式为$x=\dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}$，其定义域为$\left[0,\dfrac{\pi {d}^{2}h}{4v}\right]$，值域为$\left[0,h\right]$
【解析】
依题意可得$vt=\pi {\left(\dfrac{d}{2}\right)}^{2}x$，则$x=\dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}$.
$\because 0\leqslant x\leqslant h$，即$0\leqslant \dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}\leqslant h$，
$\therefore 0\leqslant t\leqslant \dfrac{\pi {d}^{2}h}{4v}$.
综上所述，所求函数的解析式为$x=\dfrac{4vt}{\pi {d}^{2}}$，其定义域为$\left[0,\dfrac{\pi {d}^{2}h}{4v}\right]$，值域为$\left[0,h\right]$.
解析
步骤 1：确定圆柱形容器的底面积
圆柱形容器的底面是一个圆，其直径为d cm，因此半径为$\frac{d}{2}$ cm。圆的面积公式为$A=\pi r^2$，所以底面积为$A=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}$。
步骤 2：建立溶液高度与时间的关系
溶液以$v\quad {cm}^{3}/s$的速度注入容器，因此在时间t秒内注入的溶液体积为$V=vt$。由于容器的底面积为$\frac{\pi d^2}{4}$，所以溶液的高度x与时间t的关系为$V=\frac{\pi d^2}{4}x$。将$V=vt$代入，得到$vt=\frac{\pi d^2}{4}x$，从而$x=\frac{4vt}{\pi d^2}$。
步骤 3：确定函数的定义域和值域
由于容器的高度为h cm，所以溶液的高度x的取值范围为$0\leqslant x\leqslant h$。将$x=h$代入$x=\frac{4vt}{\pi d^2}$，得到$t=\frac{\pi d^2h}{4v}$。因此，时间t的取值范围为$0\leqslant t\leqslant \frac{\pi d^2h}{4v}$。所以，函数的定义域为$\left[0,\frac{\pi d^2h}{4v}\right]$，值域为$\left[0,h\right]$。
圆柱形容器的底面是一个圆，其直径为d cm，因此半径为$\frac{d}{2}$ cm。圆的面积公式为$A=\pi r^2$，所以底面积为$A=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}$。
步骤 2：建立溶液高度与时间的关系
溶液以$v\quad {cm}^{3}/s$的速度注入容器，因此在时间t秒内注入的溶液体积为$V=vt$。由于容器的底面积为$\frac{\pi d^2}{4}$，所以溶液的高度x与时间t的关系为$V=\frac{\pi d^2}{4}x$。将$V=vt$代入，得到$vt=\frac{\pi d^2}{4}x$，从而$x=\frac{4vt}{\pi d^2}$。
步骤 3：确定函数的定义域和值域
由于容器的高度为h cm，所以溶液的高度x的取值范围为$0\leqslant x\leqslant h$。将$x=h$代入$x=\frac{4vt}{\pi d^2}$，得到$t=\frac{\pi d^2h}{4v}$。因此，时间t的取值范围为$0\leqslant t\leqslant \frac{\pi d^2h}{4v}$。所以，函数的定义域为$\left[0,\frac{\pi d^2h}{4v}\right]$，值域为$\left[0,h\right]$。