如图所示,质量为M,长为l的均匀直棒,可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动,它原来静止在平衡位置上.现有一质量为m的弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相撞,相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度theta =(30)^circ 处 theta =(30)^circ (1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速theta =(30)^circ 的值; (2)相撞时小球受到多大的冲量.

步骤 1：确定碰撞过程中的角动量守恒
在碰撞过程中，小球和棒组成的系统角动量守恒。设小球的初速度为$v_0$，碰撞后小球的速度为$v$，棒的角速度为$\omega$。根据角动量守恒定律，有：
$$mv_0l = I\omega + mvl$$
其中，$I$是棒的转动惯量，对于一端固定的均匀直棒，$I = \frac{1}{3}Ml^2$。

步骤 2：确定碰撞过程中的机械能守恒
由于碰撞是弹性的，碰撞过程中机械能守恒。碰撞前小球的动能为$\frac{1}{2}mv_0^2$，碰撞后小球的动能为$\frac{1}{2}mv^2$，棒的动能为$\frac{1}{2}I\omega^2$。因此，有：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

步骤 3：确定棒摆动到最大角度时的机械能守恒
棒从平衡位置摆动到最大角度$\theta = 30^\circ$的过程中，机械能守恒。棒的动能转化为重力势能，有：
$$\frac{1}{2}I\omega^2 = Mgl\left(1 - \cos\theta\right)$$
其中，$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

步骤 4：联立求解
联立上述方程，可以求解出$v_0$和$v$。首先，从角动量守恒方程中解出$\omega$：
$$\omega = \frac{mv_0l - mvl}{I} = \frac{3mv_0 - 3mv}{Ml}$$
然后，将$\omega$代入机械能守恒方程中，解出$v$：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{3mv_0 - 3mv}{Ml}\right)^2$$
最后，将$v$代入棒摆动到最大角度时的机械能守恒方程中，解出$v_0$：
$$\frac{1}{2}I\left(\frac{3mv_0 - 3mv}{Ml}\right)^2 = Mgl\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
解得：
$$v_0 = \frac{\sqrt{6(2-\sqrt{3})}}{12}\cdot\frac{3m+M}{m}\sqrt{gl}$$
步骤 5：计算小球受到的冲量
小球受到的冲量为：
$$I = mv - mv_0 = -\frac{\sqrt{6(2-\sqrt{3})M}}{6}\sqrt{gl}$$
负号表示冲量方向与小球初速度方向相反。