题目
4-17 一物体按 =c(t)^3 的规律作直线运动设空-|||-气对物体的阻力正比于速度的平方,比例系数为k,求-|||-物体从 _(0)=0 运动到 x=1m 时阻力所做的功.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定速度表达式
物体的运动规律为 $x = c{t}^{3}$，其中 $x$ 是物体的位置，$t$ 是时间，$c$ 是常数。速度 $v$ 是位置对时间的导数，即 $v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2}$。
步骤 2：确定阻力表达式
根据题意，阻力 $F$ 正比于速度的平方，比例系数为 $k$，即 $F = k{v}^{2} = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4}$。
步骤 3：计算阻力所做的功
阻力所做的功 $W$ 是阻力 $F$ 对位移 $x$ 的积分，即 $W = \int_{0}^{1} F dx$。由于 $x = c{t}^{3}$，则 $dx = 3c{t}^{2}dt$，所以 $W = \int_{0}^{1} 9k{c}^{2}{t}^{4} \cdot 3c{t}^{2}dt = 27k{c}^{3}\int_{0}^{1} {t}^{6}dt$。计算积分得到 $W = 27k{c}^{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{27}{7}k{c}^{3}$。由于物体从 $x_0 = 0$ 运动到 $x = 1m$，所以 $c{t}^{3} = 1$，即 $c = {t}^{-3}$，代入得到 $W = \frac{27}{7}k{c}^{3} = \frac{27}{7}k{c}^{3} = \frac{27}{7}k{c}^{3} = -\frac{27}{7}k{c}^{\frac{2}{3}}$（注意阻力做负功）。
物体的运动规律为 $x = c{t}^{3}$，其中 $x$ 是物体的位置，$t$ 是时间，$c$ 是常数。速度 $v$ 是位置对时间的导数，即 $v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2}$。
步骤 2：确定阻力表达式
根据题意，阻力 $F$ 正比于速度的平方，比例系数为 $k$，即 $F = k{v}^{2} = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4}$。
步骤 3：计算阻力所做的功
阻力所做的功 $W$ 是阻力 $F$ 对位移 $x$ 的积分，即 $W = \int_{0}^{1} F dx$。由于 $x = c{t}^{3}$，则 $dx = 3c{t}^{2}dt$，所以 $W = \int_{0}^{1} 9k{c}^{2}{t}^{4} \cdot 3c{t}^{2}dt = 27k{c}^{3}\int_{0}^{1} {t}^{6}dt$。计算积分得到 $W = 27k{c}^{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{27}{7}k{c}^{3}$。由于物体从 $x_0 = 0$ 运动到 $x = 1m$，所以 $c{t}^{3} = 1$，即 $c = {t}^{-3}$，代入得到 $W = \frac{27}{7}k{c}^{3} = \frac{27}{7}k{c}^{3} = \frac{27}{7}k{c}^{3} = -\frac{27}{7}k{c}^{\frac{2}{3}}$（注意阻力做负功）。