题目
如题8.3.8图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a、b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上，设导体的磁导率 μ=μ0，试证明导体内部各点μ=μ0的磁感应强度的大小由下式给出：μ=μ0μ=μ0
如题8.3.8图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a、b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上，设导体的磁导率 
，试证明导体内部各点
的磁感应强度的大小由下式给出：
，试证明导体内部各点的磁感应强度的大小由下式给出：
题目解答
答案
选取闭合回路
，该回路紧贴着导体表面。
，该回路紧贴着导体表面。
根据安培环路定律，有
，其中
是通过闭合回路
的总电流。
是通过闭合回路的总电流。计算闭合回路内通过的总电流：
内通过的总电流：
内部电流分布均匀，通过横截面的总电流为 
代入安培环路定律中的积分式：
解出磁感应强度
化简分式：
最终得到所需的磁感应强度表达式：
解析
步骤 1：选取闭合回路
选取一个半径为$r$的圆形闭合回路，其中$a\lt r\lt b$，该回路紧贴着导体表面。
步骤 2：应用安培环路定律
根据安培环路定律，有$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{\text{enc}}$，其中$I_{\text{enc}}$是通过闭合回路的总电流。
步骤 3：计算闭合回路内通过的总电流
由于电流均匀分布在管的横截面上，通过半径为$r$的圆形闭合回路的总电流为$I_{\text{enc}}=I\cdot \dfrac{\pi r^2-\pi a^2}{\pi b^2-\pi a^2}=I\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$。
步骤 4：代入安培环路定律中的积分式
将步骤3中的$I_{\text{enc}}$代入安培环路定律中的积分式，得到$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$。
步骤 5：计算磁感应强度
由于闭合回路是圆形的，且磁场沿圆周方向，因此$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=B\cdot 2\pi r$，代入步骤4中的结果，得到$B\cdot 2\pi r=\mu_0 I\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$，解出$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$。
步骤 6：化简分式
化简分式，得到$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi (b^2-a^2)}\cdot \dfrac{r^2-a^2}{r}$。
选取一个半径为$r$的圆形闭合回路，其中$a\lt r\lt b$，该回路紧贴着导体表面。
步骤 2：应用安培环路定律
根据安培环路定律，有$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{\text{enc}}$，其中$I_{\text{enc}}$是通过闭合回路的总电流。
步骤 3：计算闭合回路内通过的总电流
由于电流均匀分布在管的横截面上，通过半径为$r$的圆形闭合回路的总电流为$I_{\text{enc}}=I\cdot \dfrac{\pi r^2-\pi a^2}{\pi b^2-\pi a^2}=I\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$。
步骤 4：代入安培环路定律中的积分式
将步骤3中的$I_{\text{enc}}$代入安培环路定律中的积分式，得到$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$。
步骤 5：计算磁感应强度
由于闭合回路是圆形的，且磁场沿圆周方向，因此$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=B\cdot 2\pi r$，代入步骤4中的结果，得到$B\cdot 2\pi r=\mu_0 I\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$，解出$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\cdot \dfrac{r^2-a^2}{b^2-a^2}$。
步骤 6：化简分式
化简分式，得到$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi (b^2-a^2)}\cdot \dfrac{r^2-a^2}{r}$。