题目
33.电荷面密度分别为 +0 和 -0 的两块"无限大"均匀带电平行平面,分别与x轴垂直相交于 _(1)=a _(2)=-|||--a 两点。设坐标原点O处电势为零,试求空间的电势分布表示式并画出其曲线。-|||--0 +O-|||-a O +a →x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电场分布
根据高斯定理，对于无限大均匀带电平面，电场强度与距离无关，只与电荷面密度有关。对于电荷面密度为 $\sigma$ 的无限大均匀带电平面，电场强度为 $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$，其中 $\epsilon_0$ 是真空介电常数。对于电荷面密度为 $-\sigma$ 的无限大均匀带电平面，电场强度为 $E = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$。因此，电场分布为：
- 在 $-a \leq x \leq a$ 区间，电场强度为 $E = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}$。
- 在 $x < -a$ 区间，电场强度为 $E = 0$。
- 在 $x > a$ 区间，电场强度为 $E = 0$。
步骤 2：计算电势分布
电势分布可以通过电场强度的积分得到。由于电势在原点处为零，我们可以从原点开始积分。
- 在 $-a \leq x \leq a$ 区间，电势为 $U = \int_{0}^{x} E dx = \int_{0}^{x} -\frac{\sigma}{\epsilon_0} dx = -\frac{\sigma x}{\epsilon_0}$。
- 在 $x < -a$ 区间，电势为 $U = \int_{-a}^{x} E dx = \int_{-a}^{x} 0 dx = 0$。
- 在 $x > a$ 区间，电势为 $U = \int_{a}^{x} E dx = \int_{a}^{x} 0 dx = 0$。
步骤 3：绘制电势分布曲线
根据上述电势分布，可以绘制出电势分布曲线。在 $-a \leq x \leq a$ 区间，电势随 $x$ 线性变化；在 $x < -a$ 和 $x > a$ 区间，电势为常数。
根据高斯定理，对于无限大均匀带电平面，电场强度与距离无关，只与电荷面密度有关。对于电荷面密度为 $\sigma$ 的无限大均匀带电平面，电场强度为 $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$，其中 $\epsilon_0$ 是真空介电常数。对于电荷面密度为 $-\sigma$ 的无限大均匀带电平面，电场强度为 $E = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$。因此，电场分布为：
- 在 $-a \leq x \leq a$ 区间，电场强度为 $E = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}$。
- 在 $x < -a$ 区间，电场强度为 $E = 0$。
- 在 $x > a$ 区间，电场强度为 $E = 0$。
步骤 2：计算电势分布
电势分布可以通过电场强度的积分得到。由于电势在原点处为零，我们可以从原点开始积分。
- 在 $-a \leq x \leq a$ 区间，电势为 $U = \int_{0}^{x} E dx = \int_{0}^{x} -\frac{\sigma}{\epsilon_0} dx = -\frac{\sigma x}{\epsilon_0}$。
- 在 $x < -a$ 区间，电势为 $U = \int_{-a}^{x} E dx = \int_{-a}^{x} 0 dx = 0$。
- 在 $x > a$ 区间，电势为 $U = \int_{a}^{x} E dx = \int_{a}^{x} 0 dx = 0$。
步骤 3：绘制电势分布曲线
根据上述电势分布，可以绘制出电势分布曲线。在 $-a \leq x \leq a$ 区间，电势随 $x$ 线性变化；在 $x < -a$ 和 $x > a$ 区间，电势为常数。