题目
I-|||-D-|||-C-|||-I, R-|||-60-|||-A B-|||-题10.9图-|||-10.9 如题10.9图所示,A B、CD为长直导线,BC为圆心在O点的一段圆弧形导线,其-|||-半径为R.若通以电流I,求O点的磁感应强度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定各段导线对O点的磁场贡献
- AB段为无限长直导线，根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在垂直于导线方向上的磁场为零，因此AB段对O点的磁场贡献为零。
- CD段为无限长直导线的一部分，根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在垂直于导线方向上的磁场为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}$，其中r为导线到O点的距离。因此CD段对O点的磁场贡献为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}$，方向垂直向里。
- BC段为圆弧形导线，根据毕奥-萨伐尔定律，圆弧形导线在圆心处的磁场为 $\dfrac{{\mu}_{0}I\theta}{4\pi R}$，其中θ为圆弧所对的圆心角。因此BC段对O点的磁场贡献为 $\dfrac{{\mu}_{0}I\theta}{4\pi R}$，方向垂直向里。由于BC段的圆心角为60度，即$\theta = \dfrac{\pi}{3}$，因此BC段对O点的磁场贡献为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{6R}$，方向垂直向里。
步骤 2：计算O点的总磁场
- O点的总磁场为AB、BC、CD三部分电流产生的磁场之和。由于AB段对O点的磁场贡献为零，因此O点的总磁场为BC段和CD段对O点的磁场贡献之和。
- O点的总磁场为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{6R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}(\dfrac{\pi}{3} + 1)$，方向垂直向里。
- AB段为无限长直导线，根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在垂直于导线方向上的磁场为零，因此AB段对O点的磁场贡献为零。
- CD段为无限长直导线的一部分，根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在垂直于导线方向上的磁场为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}$，其中r为导线到O点的距离。因此CD段对O点的磁场贡献为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}$，方向垂直向里。
- BC段为圆弧形导线，根据毕奥-萨伐尔定律，圆弧形导线在圆心处的磁场为 $\dfrac{{\mu}_{0}I\theta}{4\pi R}$，其中θ为圆弧所对的圆心角。因此BC段对O点的磁场贡献为 $\dfrac{{\mu}_{0}I\theta}{4\pi R}$，方向垂直向里。由于BC段的圆心角为60度，即$\theta = \dfrac{\pi}{3}$，因此BC段对O点的磁场贡献为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{6R}$，方向垂直向里。
步骤 2：计算O点的总磁场
- O点的总磁场为AB、BC、CD三部分电流产生的磁场之和。由于AB段对O点的磁场贡献为零，因此O点的总磁场为BC段和CD段对O点的磁场贡献之和。
- O点的总磁场为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{6R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}(\dfrac{\pi}{3} + 1)$，方向垂直向里。