题目
(4)两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分别为-|||-_(1)=6times (10)^-2cos (5t+dfrac (1)(2)pi ) (SI单位), _(2)=2times (10)^-2sin (pi -5t) (SI单位)-|||-它们的合振动的振幅为 __ 初相位为 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：将两个简谐振动表达式转换为相同形式
给定的两个简谐振动表达式分别为：
${x}_{1}=6\times {10}^{-2}\cos (5t+\dfrac {1}{2}\pi )$
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\sin (\pi -5t)$
首先，将 ${x}_{2}$ 的表达式转换为余弦形式，利用三角恒等式 $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ 和 $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$，得到：
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\cos(\pi - 5t - \frac{\pi}{2})$
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\cos(-5t - \frac{\pi}{2})$
由于 $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$，则：
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\cos(5t + \frac{\pi}{2})$
步骤 2：计算合振动的振幅
两个简谐振动的合振动表达式为：
$x = A\cos(5t + \phi)$
其中，$A$ 是合振动的振幅，$\phi$ 是合振动的初相位。
根据矢量合成原理，合振动的振幅 $A$ 可以通过以下公式计算：
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_1 - \phi_2)}$
其中，$A_1$ 和 $A_2$ 分别是两个简谐振动的振幅，$\phi_1$ 和 $\phi_2$ 分别是两个简谐振动的初相位。
将 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 的振幅和初相位代入，得到：
$A = \sqrt{(6\times {10}^{-2})^2 + (2\times {10}^{-2})^2 + 2(6\times {10}^{-2})(2\times {10}^{-2})\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2})}$
$A = \sqrt{(6\times {10}^{-2})^2 + (2\times {10}^{-2})^2}$
$A = \sqrt{36\times {10}^{-4} + 4\times {10}^{-4}}$
$A = \sqrt{40\times {10}^{-4}}$
$A = 4\times {10}^{-2}m$
步骤 3：计算合振动的初相位
合振动的初相位 $\phi$ 可以通过以下公式计算：
$\tan(\phi) = \frac{A_2\sin(\phi_2) + A_1\sin(\phi_1)}{A_2\cos(\phi_2) + A_1\cos(\phi_1)}$
将 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 的振幅和初相位代入，得到：
$\tan(\phi) = \frac{(2\times {10}^{-2})\sin(\frac{\pi}{2}) + (6\times {10}^{-2})\sin(\frac{\pi}{2})}{(2\times {10}^{-2})\cos(\frac{\pi}{2}) + (6\times {10}^{-2})\cos(\frac{\pi}{2})}$
$\tan(\phi) = \frac{(2\times {10}^{-2}) + (6\times {10}^{-2})}{0 + 0}$
由于分母为0，说明合振动的初相位为 $\frac{\pi}{2}$。
给定的两个简谐振动表达式分别为：
${x}_{1}=6\times {10}^{-2}\cos (5t+\dfrac {1}{2}\pi )$
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\sin (\pi -5t)$
首先，将 ${x}_{2}$ 的表达式转换为余弦形式，利用三角恒等式 $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ 和 $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$，得到：
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\cos(\pi - 5t - \frac{\pi}{2})$
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\cos(-5t - \frac{\pi}{2})$
由于 $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$，则：
${x}_{2}=2\times {10}^{-2}\cos(5t + \frac{\pi}{2})$
步骤 2：计算合振动的振幅
两个简谐振动的合振动表达式为：
$x = A\cos(5t + \phi)$
其中，$A$ 是合振动的振幅，$\phi$ 是合振动的初相位。
根据矢量合成原理，合振动的振幅 $A$ 可以通过以下公式计算：
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_1 - \phi_2)}$
其中，$A_1$ 和 $A_2$ 分别是两个简谐振动的振幅，$\phi_1$ 和 $\phi_2$ 分别是两个简谐振动的初相位。
将 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 的振幅和初相位代入，得到：
$A = \sqrt{(6\times {10}^{-2})^2 + (2\times {10}^{-2})^2 + 2(6\times {10}^{-2})(2\times {10}^{-2})\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2})}$
$A = \sqrt{(6\times {10}^{-2})^2 + (2\times {10}^{-2})^2}$
$A = \sqrt{36\times {10}^{-4} + 4\times {10}^{-4}}$
$A = \sqrt{40\times {10}^{-4}}$
$A = 4\times {10}^{-2}m$
步骤 3：计算合振动的初相位
合振动的初相位 $\phi$ 可以通过以下公式计算：
$\tan(\phi) = \frac{A_2\sin(\phi_2) + A_1\sin(\phi_1)}{A_2\cos(\phi_2) + A_1\cos(\phi_1)}$
将 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 的振幅和初相位代入，得到：
$\tan(\phi) = \frac{(2\times {10}^{-2})\sin(\frac{\pi}{2}) + (6\times {10}^{-2})\sin(\frac{\pi}{2})}{(2\times {10}^{-2})\cos(\frac{\pi}{2}) + (6\times {10}^{-2})\cos(\frac{\pi}{2})}$
$\tan(\phi) = \frac{(2\times {10}^{-2}) + (6\times {10}^{-2})}{0 + 0}$
由于分母为0，说明合振动的初相位为 $\frac{\pi}{2}$。