题目
R R-|||-I⊙ C times 1-|||-O1 O2 两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面如图中阴影部分所示,他们的半径同为R,两圆心的距离R R-|||-I⊙ C times 1-|||-O1 O2,沿轴向反向通以相同大小的电流,强度为I。求在他们所包围的缺口空间C中的磁感应强度:R R-|||-I⊙ C times 1-|||-O1 O2
两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面如图中阴影部分所示,他们的半径同为R,两圆心的距离
,沿轴向反向通以相同大小的电流,强度为I。求在他们所包围的缺口空间C中的磁感应强度:
题目解答
答案
解:在C区中没有电流,相当于与导线中电流密度相同而流向相反的两个电流的叠加。电流密度为
S为每根导线的横截面积
又 
所以
, 
如图所示,P为C区内任意一点,它到两圆心距离分别为
,P点的磁场相当于垂直纸面向里的圆柱电流在P点的磁场
和垂直纸面向为的电流在P点产生的磁场
的叠加,由安培环路定理可得:
P点总磁感应强度为:
即C区内为匀强磁场,方向沿y轴正向,大小为
。
解析
步骤 1：计算电流密度
电流密度为$i=\dfrac {1}{5}$ S为每根导线的横截面积$S=\pi {R}^{2}-4[ \dfrac {1}{2}\pi {R}^{2}\dfrac {\alpha }{\pi }-\dfrac {1}{2}0.8R\cdot R\sin \alpha ] $，其中$\alpha={\cos }^{-1}0.8={36.87}^{\circ }=0.6435rad$，$\sin \alpha=\sqrt {1-{\cos }^{2}\alpha}=0.6$。因此，$S={R}^{2}[ \pi -2\alpha+0.8\times 0.6] =2.81{R}^{2}$，$\hat {i}=\dfrac {1}{2.81{R}^{2}}$。
步骤 2：计算P点的磁场
P为C区内任意一点，它到两圆心距离分别为$r_1$和$r_2$。P点的磁场相当于垂直纸面向里的圆柱电流在P点的磁场$B_1$和垂直纸面向外的电流在P点产生的磁场$B_2$的叠加。由安培环路定理可得：${B}_{1}=\dfrac {{u}_{0}i{{r}_{1}}^{2}}{2\pi {r}_{1}}=\dfrac {{u}_{0}i}{2}{r}_{1}$，方向如图所示；${B}_{2}=\dfrac {{u}_{0}i\pi {{r}_{2}}^{2}}{2\pi {r}_{2}}=\dfrac {{u}_{0}i}{2}{r}_{2}$，方向如图所示。
步骤 3：计算P点总磁感应强度
P点总磁感应强度为：$\overrightarrow {B}=\overrightarrow {{B}_{1}}+\overrightarrow {{B}_{2}}$。${B}_{x}={B}_{1x}+{B}_{2x}=-{B}_{1}\sin {\theta }_{1}+{B}_{2}\sin {\theta }_{2}=\dfrac {1}{2}{u}_{0}i({r}_{2}\sin {\theta }_{2}-{r}_{1}\sin {\theta }_{1})=0$；${B}_{y}={B}_{1y}+{B}_{2y}={B}_{1}\cos {\theta }_{1}+{B}_{2}\cos {\theta }_{2}=\dfrac {1}{2}{u}_{0}i(r)\cos {\theta }_{1}+{r}_{2}\cos {\theta }_{2})=\dfrac {1}{2}{u}_{0}i\times 1.6R=0.84win$。$B={B}_{y}=0.8{\mu }_{0}\cdot \dfrac {1}{2.81{R}^{2}}R=0.281\dfrac {{U}_{0}I}{R}$。
电流密度为$i=\dfrac {1}{5}$ S为每根导线的横截面积$S=\pi {R}^{2}-4[ \dfrac {1}{2}\pi {R}^{2}\dfrac {\alpha }{\pi }-\dfrac {1}{2}0.8R\cdot R\sin \alpha ] $，其中$\alpha={\cos }^{-1}0.8={36.87}^{\circ }=0.6435rad$，$\sin \alpha=\sqrt {1-{\cos }^{2}\alpha}=0.6$。因此，$S={R}^{2}[ \pi -2\alpha+0.8\times 0.6] =2.81{R}^{2}$，$\hat {i}=\dfrac {1}{2.81{R}^{2}}$。
步骤 2：计算P点的磁场
P为C区内任意一点，它到两圆心距离分别为$r_1$和$r_2$。P点的磁场相当于垂直纸面向里的圆柱电流在P点的磁场$B_1$和垂直纸面向外的电流在P点产生的磁场$B_2$的叠加。由安培环路定理可得：${B}_{1}=\dfrac {{u}_{0}i{{r}_{1}}^{2}}{2\pi {r}_{1}}=\dfrac {{u}_{0}i}{2}{r}_{1}$，方向如图所示；${B}_{2}=\dfrac {{u}_{0}i\pi {{r}_{2}}^{2}}{2\pi {r}_{2}}=\dfrac {{u}_{0}i}{2}{r}_{2}$，方向如图所示。
步骤 3：计算P点总磁感应强度
P点总磁感应强度为：$\overrightarrow {B}=\overrightarrow {{B}_{1}}+\overrightarrow {{B}_{2}}$。${B}_{x}={B}_{1x}+{B}_{2x}=-{B}_{1}\sin {\theta }_{1}+{B}_{2}\sin {\theta }_{2}=\dfrac {1}{2}{u}_{0}i({r}_{2}\sin {\theta }_{2}-{r}_{1}\sin {\theta }_{1})=0$；${B}_{y}={B}_{1y}+{B}_{2y}={B}_{1}\cos {\theta }_{1}+{B}_{2}\cos {\theta }_{2}=\dfrac {1}{2}{u}_{0}i(r)\cos {\theta }_{1}+{r}_{2}\cos {\theta }_{2})=\dfrac {1}{2}{u}_{0}i\times 1.6R=0.84win$。$B={B}_{y}=0.8{\mu }_{0}\cdot \dfrac {1}{2.81{R}^{2}}R=0.281\dfrac {{U}_{0}I}{R}$。