9.5 如图9.39所示,一个带电细棒被弯成半径为R的半圆形,其上半部分均匀分布有-|||-电荷 _(1)=+infty , 沿其下半部分均匀分布有电荷 _(2)=-Q(Qgt 0). 试求圆心O处的电场强度.-|||-y4-|||-Q1-|||-0 x-|||-R-|||-Q2-|||-图9.39 习题9.5图

步骤 1：确定电荷分布
细棒被弯成半径为R的半圆形，上半部分均匀分布有电荷${Q}_{1}=+Q$，下半部分均匀分布有电荷${Q}_{2}=-Q$。由于电荷均匀分布，我们可以将电荷分布看作是连续的线电荷分布。

步骤 2：计算上半部分电荷在圆心O处产生的电场
上半部分电荷${Q}_{1}=+Q$均匀分布在半圆上，根据对称性，上半部分电荷在圆心O处产生的电场方向沿y轴正方向。设上半部分电荷在圆心O处产生的电场强度为${E}_{1}$，则有：
$${E}_{1}=\dfrac{1}{4\pi{\varepsilon }_{0}}\int_{0}^{\pi}\dfrac{Qd\theta}{2\pi R}\dfrac{1}{R^{2}}\sin\theta$$
其中，$d\theta$是微小电荷元对应的圆心角，$\sin\theta$是微小电荷元在y轴方向的分量。将积分计算出来，得到：
$${E}_{1}=\dfrac{Q}{2\pi^{2}{\varepsilon }_{0}R^{2}}$$

步骤 3：计算下半部分电荷在圆心O处产生的电场
下半部分电荷${Q}_{2}=-Q$均匀分布在半圆上，根据对称性，下半部分电荷在圆心O处产生的电场方向沿y轴负方向。设下半部分电荷在圆心O处产生的电场强度为${E}_{2}$，则有：
$${E}_{2}=\dfrac{1}{4\pi{\varepsilon }_{0}}\int_{\pi}^{2\pi}\dfrac{Qd\theta}{2\pi R}\dfrac{1}{R^{2}}\sin\theta$$
其中，$d\theta$是微小电荷元对应的圆心角，$\sin\theta$是微小电荷元在y轴方向的分量。将积分计算出来，得到：
$${E}_{2}=-\dfrac{Q}{2\pi^{2}{\varepsilon }_{0}R^{2}}$$

步骤 4：计算圆心O处的总电场强度
圆心O处的总电场强度为上半部分电荷和下半部分电荷在圆心O处产生的电场强度的矢量和，即：
$$E={E}_{1}+{E}_{2}=\dfrac{Q}{2\pi^{2}{\varepsilon }_{0}R^{2}}-\dfrac{Q}{2\pi^{2}{\varepsilon }_{0}R^{2}}=-\dfrac{Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}j$$
其中，$j$表示沿y轴负方向的单位矢量。