题目
O oC-|||-A B如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的细线，细线的另一端系一质量同为m的球C。已知重力加速度g，现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。求：（1）球C运动到最低点过程中，木块A的对地位移大小；（2）木块A、B分离时，A、B、C的速度大小；（3）球C向左摆到最高点时与最低点的高度差h。
如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的细线，细线的另一端系一质量同为m的球C。已知重力加速度g，现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。求：（1）球C运动到最低点过程中，木块A的对地位移大小；
（2）木块A、B分离时，A、B、C的速度大小；
（3）球C向左摆到最高点时与最低点的高度差h。
题目解答
答案
解：（1）球C运动到最低点过程中，根据AB一直具有相同的速度，取向左为正方向，根据系统水平方向动量守恒可得
mvC=2mvAB
则有
mxC=2mxAB
又
xC+xAB=l
联立解得该过程木块A的对地位移大小为
${{x}_{AB}}=\frac{l}{3}$
（2）球C运动到最低点时，木块A、B刚要分离，根据系统机械能守恒可得
$mgl=\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+\frac{1}{2}×2mv_{AB}^{2}$
联立解得木块A、B分离时，A、B的速度大小均为
${{v}_{AB}}=\sqrt{\frac{gl}{3}}$
C的速度大小为
${{v}_{C}}=2\sqrt{\frac{gl}{3}}$
（3）球C从最低点向左摆到最高点过程，A、C组成系统满足水平方向动量守恒，以向左为正方向，则有
mvC-mvAB=2mv
解得球C摆到最高点时，A、C的共同速度为
$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{gl}{3}}$
根据系统机械能守恒可得
$\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+\frac{1}{2}mv_{AB}^{2}=\frac{1}{2}×2m{{v}^{2}}+mgh$
解得
$h=\frac{3}{4}l$
答：（1）球C运动到最低点过程中，木块A的对地位移大小$\frac{l}{3}$：
（2）木块A、B分离时，A、B、C的速度大小$\sqrt{\frac{gl}{3}}$，$\sqrt{\frac{gl}{3}}$，$2\sqrt{\frac{gl}{3}}$；
（3）球C向左摆到最高点时与最低点的高度差$\frac{3}{4}l$。
mvC=2mvAB
则有
mxC=2mxAB
又
xC+xAB=l
联立解得该过程木块A的对地位移大小为
${{x}_{AB}}=\frac{l}{3}$
（2）球C运动到最低点时，木块A、B刚要分离，根据系统机械能守恒可得
$mgl=\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+\frac{1}{2}×2mv_{AB}^{2}$
联立解得木块A、B分离时，A、B的速度大小均为
${{v}_{AB}}=\sqrt{\frac{gl}{3}}$
C的速度大小为
${{v}_{C}}=2\sqrt{\frac{gl}{3}}$
（3）球C从最低点向左摆到最高点过程，A、C组成系统满足水平方向动量守恒，以向左为正方向，则有
mvC-mvAB=2mv
解得球C摆到最高点时，A、C的共同速度为
$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{gl}{3}}$
根据系统机械能守恒可得
$\frac{1}{2}mv_{C}^{2}+\frac{1}{2}mv_{AB}^{2}=\frac{1}{2}×2m{{v}^{2}}+mgh$
解得
$h=\frac{3}{4}l$
答：（1）球C运动到最低点过程中，木块A的对地位移大小$\frac{l}{3}$：
（2）木块A、B分离时，A、B、C的速度大小$\sqrt{\frac{gl}{3}}$，$\sqrt{\frac{gl}{3}}$，$2\sqrt{\frac{gl}{3}}$；
（3）球C向左摆到最高点时与最低点的高度差$\frac{3}{4}l$。
解析
步骤 1：球C运动到最低点过程中，木块A的对地位移大小
球C从水平位置释放，运动到最低点的过程中，木块A和B由于水平面光滑，没有外力作用，因此系统在水平方向上动量守恒。设球C在最低点时的速度为$v_C$，木块A和B的速度为$v_{AB}$，根据动量守恒定律，有
$$mv_C = 2mv_{AB}$$
球C在最低点时，细线的长度为$l$，球C的位移为$l$，木块A的位移为$x_{AB}$，根据位移关系，有
$$x_C + x_{AB} = l$$
其中$x_C$为球C的位移，$x_{AB}$为木块A的位移。由于球C和木块A的速度关系，有
$$mx_C = 2mx_{AB}$$
联立以上方程，可以求出木块A的对地位移大小$x_{AB}$。
步骤 2：木块A、B分离时，A、B、C的速度大小
球C运动到最低点时，木块A和B刚要分离，此时系统机械能守恒。设球C在最低点时的速度为$v_C$，木块A和B的速度为$v_{AB}$，根据机械能守恒定律，有
$$mgl = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2} \times 2mv_{AB}^2$$
联立以上方程，可以求出木块A、B分离时，A、B、C的速度大小。
步骤 3：球C向左摆到最高点时与最低点的高度差h
球C从最低点向左摆到最高点过程，A、C组成系统满足水平方向动量守恒，以向左为正方向，则有
$$mv_C - mv_{AB} = 2mv$$
解得球C摆到最高点时，A、C的共同速度为$v$。根据系统机械能守恒可得
$$\frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}mv_{AB}^2 = \frac{1}{2} \times 2mv^2 + mgh$$
解得球C向左摆到最高点时与最低点的高度差$h$。
球C从水平位置释放，运动到最低点的过程中，木块A和B由于水平面光滑，没有外力作用，因此系统在水平方向上动量守恒。设球C在最低点时的速度为$v_C$，木块A和B的速度为$v_{AB}$，根据动量守恒定律，有
$$mv_C = 2mv_{AB}$$
球C在最低点时，细线的长度为$l$，球C的位移为$l$，木块A的位移为$x_{AB}$，根据位移关系，有
$$x_C + x_{AB} = l$$
其中$x_C$为球C的位移，$x_{AB}$为木块A的位移。由于球C和木块A的速度关系，有
$$mx_C = 2mx_{AB}$$
联立以上方程，可以求出木块A的对地位移大小$x_{AB}$。
步骤 2：木块A、B分离时，A、B、C的速度大小
球C运动到最低点时，木块A和B刚要分离，此时系统机械能守恒。设球C在最低点时的速度为$v_C$，木块A和B的速度为$v_{AB}$，根据机械能守恒定律，有
$$mgl = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2} \times 2mv_{AB}^2$$
联立以上方程，可以求出木块A、B分离时，A、B、C的速度大小。
步骤 3：球C向左摆到最高点时与最低点的高度差h
球C从最低点向左摆到最高点过程，A、C组成系统满足水平方向动量守恒，以向左为正方向，则有
$$mv_C - mv_{AB} = 2mv$$
解得球C摆到最高点时，A、C的共同速度为$v$。根据系统机械能守恒可得
$$\frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}mv_{AB}^2 = \frac{1}{2} \times 2mv^2 + mgh$$
解得球C向左摆到最高点时与最低点的高度差$h$。