题目

设有一定量的某种理想气体，其状态参量满足方程rho (V)^2= 常量。问：(1) rho (V)^2= 常量、rho (V)^2= 常量 之间的关系如何？(2) 该气体膨胀时，温度是升高还是降低？

设有一定量的某种理想气体，其状态参量满足方程。问：

(1) 、  之间的关系如何？

(2) 该气体膨胀时，温度是升高还是降低？

题目解答

答案

(1) 根据理想气体状态方程 ，可以将其变形为 。这说明压强  与体积  的平方成反比，即当体积增大时，压强会减小；当体积减小时，压强会增大。而根据理想气体状态方程 ，其中  为物质的摩尔数， 为气体常数， 为温度，可以得知温度  和压强  成正比关系，即当压强增大时，温度也会增大；当压强减小时，温度也会减小。

(2) 由于 ，当气体膨胀时，体积  增大，根据的关系，如果增大，为了使等式成立，压强  必然会减小。根据前面的推导，当压强减小时，温度也会减小。因此，在该气体膨胀时，温度会降低。

综上所述：

(1) 温度  和压强  成正比关系。

(2) 该气体膨胀时，温度会降低。

解析

本题考查理想气体状态方程的应用及气体参量之间的关系推导。核心思路是将题目给出的方程与理想气体状态方程结合，推导出温度与压强、体积的关系。关键点在于正确联立方程，分析变量间的依赖关系，并判断气体膨胀时温度的变化趋势。

第（1）题

  1. 联立方程
    已知 $\rho V^2 = \text{常量}$（假设 $\rho$ 为压强 $p$），即 $p = \frac{\text{常量}}{V^2}$。
    结合理想气体状态方程 $pV = nRT$，将 $p = \frac{\text{常量}}{V^2}$ 代入得：
    $\frac{\text{常量}}{V^2} \cdot V = nRT \implies \frac{\text{常量}}{V} = nRT \implies T = \frac{\text{常量}}{nR V}.$
    这表明 温度 $T$ 与体积 $V$ 成反比。

  2. 推导 $T$ 与 $p$ 的关系
    由 $p = \frac{\text{常量}}{V^2}$ 得 $V = \sqrt{\frac{\text{常量}}{p}}$，代入 $T = \frac{\text{常量}}{nR V}$：
    $T = \frac{\text{常量}}{nR} \cdot \sqrt{\frac{p}{\text{常量}}} \implies T \propto \sqrt{p}.$
    因此，温度 $T$ 与压强 $p$ 的平方根成正比。

第（2）题

  1. 分析膨胀过程
    当气体膨胀时，体积 $V$ 增大。根据 $\rho V^2 = \text{常量}$，$V$ 增大导致压强 $p$ 减小。
    由 $T \propto \sqrt{p}$ 可知，压强 $p$ 减小会导致温度 $T$ 降低。