题目
1.已知一电流元Idl位于直角坐标系的原点,电流沿z轴正方向,试确定该电流元在(x,y,z)处-|||-产生的磁感应强度沿x轴的分量dBx。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电流元产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度dB为：
$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \times r}{r^3}$$
其中，$\mu_0$是真空磁导率，$r$是从电流元到该点的位置矢量，$r^3$是$r$的模的三次方。
步骤 2：确定位置矢量和电流元的方向
在直角坐标系中，电流元Idl位于原点，电流沿z轴正方向，因此电流元的方向为$\hat{k}$。位置矢量$r$从原点指向点$(x,y,z)$，因此$r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$。
步骤 3：计算磁感应强度的分量
根据叉乘的性质，$Idl \times r = Idl \times (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = Idl \times (x\hat{i} + y\hat{j})$，因为$Idl$沿z轴，与$\hat{k}$方向相同，所以$Idl \times \hat{k} = 0$。因此，$Idl \times r = Idl \times (x\hat{i} + y\hat{j}) = Idl \times x\hat{i} + Idl \times y\hat{j} = -yIdl\hat{i} + xIdl\hat{j}$。所以，磁感应强度的x分量为：
$$dB_x = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-yIdl}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$$
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度dB为：
$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \times r}{r^3}$$
其中，$\mu_0$是真空磁导率，$r$是从电流元到该点的位置矢量，$r^3$是$r$的模的三次方。
步骤 2：确定位置矢量和电流元的方向
在直角坐标系中，电流元Idl位于原点，电流沿z轴正方向，因此电流元的方向为$\hat{k}$。位置矢量$r$从原点指向点$(x,y,z)$，因此$r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$。
步骤 3：计算磁感应强度的分量
根据叉乘的性质，$Idl \times r = Idl \times (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = Idl \times (x\hat{i} + y\hat{j})$，因为$Idl$沿z轴，与$\hat{k}$方向相同，所以$Idl \times \hat{k} = 0$。因此，$Idl \times r = Idl \times (x\hat{i} + y\hat{j}) = Idl \times x\hat{i} + Idl \times y\hat{j} = -yIdl\hat{i} + xIdl\hat{j}$。所以，磁感应强度的x分量为：
$$dB_x = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-yIdl}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$$