[题目]质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系-|||-为 =2+6(x)^2 质点在 x=0 处,速度为10,求质点在-|||-任何位置处的速度值。详解,谢谢!

考查要点：本题主要考查变力作用下质点运动的微分方程建立与求解，涉及加速度与速度的关系、微分方程的变量分离法及积分应用。

解题核心思路：

1. 将加速度表达式转化为速度与位置的关系：利用$a = v \frac{dv}{dx}$，将加速度与位置的函数关系转化为关于速度$v$和位置$x$的微分方程。
2. 分离变量并积分：将微分方程整理为$v \, dv = (2 + 6x^2) \, dx$，分别对$v$和$x$积分。
3. 应用初始条件确定积分常数：代入$x=0$时$v=10$，求出积分常数$C$，最终得到速度表达式。

破题关键点：

• 正确应用$a = v \frac{dv}{dx}$，避免直接使用$a = \frac{dv}{dt}$导致变量混淆。
• 积分后及时代入初始条件，确定积分常数，确保解的唯一性。

步骤1：建立微分方程
已知加速度$a = 2 + 6x^2$，根据$a = v \frac{dv}{dx}$，得：
$v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$

步骤2：分离变量并积分
将方程整理为：
$v \, dv = (2 + 6x^2) \, dx$
对两边分别积分：
$\int v \, dv = \int (2 + 6x^2) \, dx$
计算得：
$\frac{v^2}{2} = 2x + 2x^3 + C$

步骤3：代入初始条件求常数$C$
当$x=0$时，$v=10$，代入上式：
$\frac{10^2}{2} = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0^3 + C \implies C = 50$

步骤4：整理速度表达式
将$C=50$代入积分结果：
$\frac{v^2}{2} = 2x + 2x^3 + 50 \implies v^2 = 4x + 4x^3 + 100$
取正根（因初始速度为正）：
$v = \sqrt{4x^3 + 4x + 100}$