题目
-8 一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘,通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动,若在某时刻,一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开,且恰好沿垂直方向上抛,问它可能达到的高度是多少? 破裂后圆盘的角动量为多大?
-8 一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘,通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动,若在某时刻,一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开,且恰好沿垂直方向上抛,问它可能达到的高度是多少? 破裂后圆盘的角动量为多大?
题目解答
答案
分析 盘边缘裂开时,小碎块以原有的切向速度作上抛运动,由质点运动学规律可求得上抛的最大高度.此外,在碎块与盘分离的过程中,满足角动量守恒条件,由角动量守恒定律可计算破裂后盘的角动量.
解 (1) 碎块抛出时的初速度为
由于碎块竖直上抛运动,它所能到达的高度为
(2) 圆盘在裂开的过程中,其角动量守恒,故有
式中
为圆盘未碎时的角动量;
为碎块被视为质点时,碎块对轴的角动量;L 为破裂后盘的角动量.则
3-9 一位溜冰者伸开双臂来以1.0
绕身体中心轴转动,此时的转动惯量为1.33 
,她收起双臂来增加转速,如收起双臂后的转动惯量变为0.48 .求(1)她收起双臂后的转速;(2)她收起双臂前后绕身体中心轴的转动动能各为多少?
分析 各种物体(含刚体和变形体)在运动过程中,只要对空间某定点或定轴的外力矩之和为零,则物体对同一点或轴的角动量就守恒,在本题中当溜冰者绕身体中心轴转动时,人体重力和地面支持力均与该轴重合,故无外力矩作用,满足角动量守恒.此时改变身体形状(即改变对轴的转动惯量)就可改变转速,这是在体育运动中经常要利用的物理规律.
解 (1)由分析知,有
则 
(2)收起双臂前 
收起双臂后 
此时由于人体内力做功,有 
解析
步骤 1：确定碎块的初速度
碎块从圆盘边缘裂开时，其初速度等于圆盘边缘的线速度，即 $v_0 = \omega R$，其中 $\omega$ 是圆盘的角速度，$R$ 是圆盘的半径。
步骤 2：计算碎块能达到的最大高度
碎块以初速度 $v_0$ 竖直上抛，根据竖直上抛运动的公式，碎块能达到的最大高度 $h$ 可以通过以下公式计算：
$$ h = \frac{v_0^2}{2g} $$
其中 $g$ 是重力加速度。
步骤 3：应用角动量守恒定律
在碎块与圆盘分离的过程中，系统对转轴的角动量守恒。设破裂后圆盘的角动量为 $L$，则有：
$$ L_{\text{初始}} = L_{\text{碎块}} + L_{\text{圆盘}} $$
其中 $L_{\text{初始}}$ 是圆盘未碎时的角动量，$L_{\text{碎块}}$ 是碎块对轴的角动量，$L_{\text{圆盘}}$ 是破裂后圆盘的角动量。根据角动量守恒定律，有：
$$ \frac{1}{2}m'R^2\omega = mR^2\omega + L_{\text{圆盘}} $$
解此方程可得破裂后圆盘的角动量 $L_{\text{圆盘}}$。
碎块从圆盘边缘裂开时，其初速度等于圆盘边缘的线速度，即 $v_0 = \omega R$，其中 $\omega$ 是圆盘的角速度，$R$ 是圆盘的半径。
步骤 2：计算碎块能达到的最大高度
碎块以初速度 $v_0$ 竖直上抛，根据竖直上抛运动的公式，碎块能达到的最大高度 $h$ 可以通过以下公式计算：
$$ h = \frac{v_0^2}{2g} $$
其中 $g$ 是重力加速度。
步骤 3：应用角动量守恒定律
在碎块与圆盘分离的过程中，系统对转轴的角动量守恒。设破裂后圆盘的角动量为 $L$，则有：
$$ L_{\text{初始}} = L_{\text{碎块}} + L_{\text{圆盘}} $$
其中 $L_{\text{初始}}$ 是圆盘未碎时的角动量，$L_{\text{碎块}}$ 是碎块对轴的角动量，$L_{\text{圆盘}}$ 是破裂后圆盘的角动量。根据角动量守恒定律，有：
$$ \frac{1}{2}m'R^2\omega = mR^2\omega + L_{\text{圆盘}} $$
解此方程可得破裂后圆盘的角动量 $L_{\text{圆盘}}$。