题目
一个长度为的带电细棒，电荷分布的线密度，距离棒右端为的点的电场强度大小为:
一个长度为
的带电细棒，电荷分布的线密度
，距离棒右端为
的
点的电场强度大小为:
题目解答
答案
取
点为
的点，向右为
的正方向，则棒上到点距离为的点到点的距离
，该点的电荷微分
，在点产生的电场强度微分
。点的电场强度
，故选
。
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场强度微分
带电细棒的电荷分布线密度为 $\lambda = 1 + a - x$，其中 $x$ 是棒上某点到棒左端的距离。距离棒右端为 $a$ 的点的电场强度需要计算。首先，选取棒上某点 $x$，该点到距离棒右端为 $a$ 的点的距离为 $r = L + a - x$。该点的电荷微分 $dQ = \lambda dx = (1 + a - x)dx$，在该点产生的电场强度微分 $dE = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{dQ}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{(1 + a - x)dx}{(L + a - x)^2}$。
步骤 2：积分求解电场强度
点的电场强度 $E$ 是所有微分电场强度 $dE$ 的积分，即 $E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{L} \dfrac{(1 + a - x)dx}{(L + a - x)^2}$。为了简化积分，可以进行变量替换，令 $u = L + a - x$，则 $du = -dx$，积分上下限变为 $u = L + a$ 到 $u = a$。因此，$E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{L+a}^{a} \dfrac{(1 + a - (L + a - u))(-du)}{u^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{L+a} \dfrac{udu}{u^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{L+a} \dfrac{du}{u}$。
步骤 3：计算积分结果
积分 $\int_{a}^{L+a} \dfrac{du}{u} = \ln u \Big|_{a}^{L+a} = \ln(L + a) - \ln a = \ln \dfrac{L + a}{a}$。因此，点的电场强度 $E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \ln \dfrac{L + a}{a}$。
带电细棒的电荷分布线密度为 $\lambda = 1 + a - x$，其中 $x$ 是棒上某点到棒左端的距离。距离棒右端为 $a$ 的点的电场强度需要计算。首先，选取棒上某点 $x$，该点到距离棒右端为 $a$ 的点的距离为 $r = L + a - x$。该点的电荷微分 $dQ = \lambda dx = (1 + a - x)dx$，在该点产生的电场强度微分 $dE = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{dQ}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{(1 + a - x)dx}{(L + a - x)^2}$。
步骤 2：积分求解电场强度
点的电场强度 $E$ 是所有微分电场强度 $dE$ 的积分，即 $E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{L} \dfrac{(1 + a - x)dx}{(L + a - x)^2}$。为了简化积分，可以进行变量替换，令 $u = L + a - x$，则 $du = -dx$，积分上下限变为 $u = L + a$ 到 $u = a$。因此，$E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{L+a}^{a} \dfrac{(1 + a - (L + a - u))(-du)}{u^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{L+a} \dfrac{udu}{u^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{L+a} \dfrac{du}{u}$。
步骤 3：计算积分结果
积分 $\int_{a}^{L+a} \dfrac{du}{u} = \ln u \Big|_{a}^{L+a} = \ln(L + a) - \ln a = \ln \dfrac{L + a}{a}$。因此，点的电场强度 $E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \ln \dfrac{L + a}{a}$。