题目

1、在坐标原点有一电流元Id⃗l = 3 × 10−3⃗kA · mﬁ分别求出点（3,0,4）、（3,4,0）的磁感应强度。

题目解答

答案

解：由毕奥-萨伐尔定律知B = µ0Id⃗l × ⃗r= 10−7 Id⃗l × ⃗r4πr3r3其中Id⃗l = 3 × 10−3⃗k所以B1 = 10−7 × 3 × 10−3⃗k × (3⃗i + 4⃗k)125T = 7.2 × 10−12⃗jTB2 = 10−7 × 3 × 10−3⃗k × (3⃗i + 4⃗j)125T = −9.6 × 10−12⃗i + 7.2 × 10−12⃗jT

解析

考查要点：本题主要考查毕奥-萨伐尔定律的应用，即计算由电流元产生的磁感应强度。关键在于正确运用矢量叉乘运算，并注意坐标点的位置向量方向。

解题核心思路：

确定位置向量：根据题目中的点坐标，写出位置向量$\vec{r}$。
计算叉乘：利用$\vec{Idl} \times \vec{r}$的矢量叉乘规则，确定方向。
代入公式：将叉乘结果代入毕奥-萨伐尔定律公式，注意单位换算和分母的模长三次方。

破题关键点：

叉乘方向：严格按照右手法则判断$\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$，$\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$等关系。
模长计算：正确计算$\vec{r}$的模长$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，并代入分母$r^3$。

第（1）题：点（3,0,4）

位置向量：$\vec{r} = 3\vec{i} + 4\vec{k}$，模长$r = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = 5$。
叉乘计算：
$\vec{Idl} \times \vec{r} = (3 \times 10^{-3}\vec{k}) \times (3\vec{i} + 4\vec{k}) = 3 \times 10^{-3} \cdot 3 (\vec{k} \times \vec{i}) + 3 \times 10^{-3} \cdot 4 (\vec{k} \times \vec{k}) = 9 \times 10^{-3}\vec{j}$。
代入公式：
$B_1 = \frac{10^{-7} \cdot 9 \times 10^{-3}\vec{j}}{5^3} = \frac{9 \times 10^{-10}\vec{j}}{125} = 7.2 \times 10^{-12}\vec{j} \, \text{T}$。

第（2）题：点（3,4,0）

位置向量：$\vec{r} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$，模长$r = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$。
叉乘计算：
$\vec{Idl} \times \vec{r} = (3 \times 10^{-3}\vec{k}) \times (3\vec{i} + 4\vec{j}) = 3 \times 10^{-3} \cdot 3 (\vec{k} \times \vec{i}) + 3 \times 10^{-3} \cdot 4 (\vec{k} \times \vec{j}) = 9 \times 10^{-3}\vec{j} - 12 \times 10^{-3}\vec{i}$。
代入公式：
$B_2 = \frac{10^{-7} \cdot (-12 \times 10^{-3}\vec{i} + 9 \times 10^{-3}\vec{j})}{5^3} = \frac{-12 \times 10^{-10}\vec{i} + 9 \times 10^{-10}\vec{j}}{125} = -9.6 \times 10^{-12}\vec{i} + 7.2 \times 10^{-12}\vec{j} \, \text{T}$。