在并流换热器中，用水冷却油。水的进、出口温度分别为 15^circ mathrm(C) 和 40^circ mathrm(C)，油的进、出口温度分别为 150^circ mathrm(C) 和 100^circ mathrm(C)。现因生产任务要求油的出口温度降至 80^circ mathrm(C)，假设油和水的流量、进口温度及物性均不变，若原换热器的管长为 1 , mathrm(m)，试求此换热器的管长增至多少米才能满足要求（设换热器的热损失可忽略）。

本题考查并流换热器的传热计算，解题的关键思路是利用传热基本方程$Q = KA\Delta T_{m}$，结合热量计算公式$Q = q_{m}c_{p}\Delta t$，通过分析初始工况和新工况下的对数平均温差$\Delta T_{m}$、传热量$Q$以及传热面积$A$之间的关系，进而求出满足新工况要求时换热器的管长。

1. 初始工况分析

• 计算对数平均温差$\Delta T_{m1}$
  在并流换热器中，对数平均温差$\Delta T_{m}$的计算公式为$\Delta T_{m}=\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln(\frac{\Delta T_{1}}{\Delta T_{2}})}$，其中$\Delta T_{1}$和$\Delta T_{2}$分别为换热器两端的温差。
  已知水的进、出口温度分别为$t_{1}=15^{\circ}C$和$t_{2}=40^{\circ}C$，油的进、出口温度分别为$T_{1}=150^{\circ}C$和$T_{2}=100^{\circ}C$。
  则$\Delta T_{1}=T_{1}-t_{1}=150 - 15 = 135^{\circ}C$，$\Delta T_{2}=T_{2}-t_{2}=100 - 40 = 60^{\circ}C$。
  将$\Delta T_{1}=135^{\circ}C$和$\Delta T_{2}=60^{\circ}C$代入对数平均温差公式可得：
  $\Delta T_{m1}=\frac{135 - 60}{\ln(\frac{135}{60})}\approx 92.5^{\circ}C$
• 计算传热量$Q_{1}$
  根据热量计算公式$Q = q_{m}c_{p}\Delta t$，对于水，传热量$Q_{1}=q_{m,c}c_{p,c}(t_{2}-t_{1})$，其中$q_{m,c}$为水的质量流量，$c_{p,c}$为水的比热容。
  $Q_{1}=q_{m,c}c_{p,c}(40 - 15)=25q_{m,c}c_{p,c}$

2. 新工况分析

• 计算水的出口温度$t_{2}'$
  因为油和水的流量、进口温度及物性均不变，所以油和水的传热系数$K$不变。
  根据热量平衡，油放出的热量等于水吸收的热量，即$Q = q_{m,h}c_{p,h}(T_{1}-T_{2}')=q_{m,c}c_{p,c}(t_{2}'-t_{1})$，其中$q_{m,h}$为油的质量流量，$c_{p,h}$为油的比热容，$T_{2}' = 80^{\circ}C$。
  由于$\frac{q_{m,h}c_{p,h}}{q_{m,c}c_{p,c}}=\frac{t_{2}-t_{1}}{T_{1}-T_{2}}=\frac{40 - 15}{150 - 100}=\frac{25}{50}=0.5$。
  则$0.5=\frac{t_{2}'-15}{150 - 80}$，
  $t_{2}'-15 = 0.5\times70 = 35$，
  解得$t_{2}' = 50^{\circ}C$。
• 计算对数平均温差$\Delta T_{m2}$
  此时$\Delta T_{1}'=T_{1}-t_{1}=150 - 15 = 135^{\circ}C$，$\Delta T_{2}'=T_{2}'-t_{2}'=80 - 50 = 30^{\circ}C$。
  将$\Delta T_{1}'=135^{\circ}C$和$\Delta T_{2}'=30^{\circ}C$代入对数平均温差公式可得：
  $\Delta T_{m2}=\frac{135 - 30}{\ln(\frac{135}{30})}\approx 69.8^{\circ}C$
• 计算传热量$Q_{2}$
  $Q_{2}=q_{m,c}c_{p,c}(t_{2}'-t_{1})=q_{m,c}c_{p,c}(50 - 15)=35q_{m,c}c_{p,c}$

3. 计算传热面积的变化

根据传热基本方程$Q = KA\Delta T_{m}$，可得$\frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{KA_{1}\Delta T_{m1}}{KA_{2}\Delta T_{m2}}$，即$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{Q_{2}/\Delta T_{m2}}{Q_{1}/\Delta T_{m1}}$。
将$Q_{1}=25q_{m,c}c_{p,c}$，$Q_{2}=35q_{m,c}c_{p,c}$，$\Delta T_{m1}\approx 92.5^{\circ}C$，$\Delta T_{m2}\approx 69.8^{\circ}C$代入上式可得：
$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{35 / 69.8}{25 / 92.5}=\frac{35\times92.5}{25\times69.8}=\frac{3237.5}{1745}\approx 1.855$

4. 计算新的管长

因为换热器的传热面积$A$与管长$L$成正比，即$A\propto L$，所以$\frac{L_{2}}{L_{1}}=\frac{A_{2}}{A_{1}}$。
已知$L_{1}=1m$，则$L_{2}=1.855\times1 = 1.855m\approx 1.86m$