例5.4 如图所示,质量为m、长为l的均匀细棒可绕过其一端的水平轴O转-|||-动.现将棒拉到水平位置OA后放手,棒下摆到竖直位置B时,与静止在水平面上-|||-质量为M的物块做完全弹性碰撞,碰撞后物块在摩擦系数为μ的水平面上运动,-|||-直至停止.试求碰撞前后棒的角速度及物块停止前在水平面上通过的距离.-|||-A O-|||-m,l-|||-1-|||-c-|||-M-|||-μ-|||-7h7TTIT __________-|||-B s-|||-例5.4图

考查要点：本题综合考查机械能守恒、角动量守恒、动能定理的应用，涉及转动与平动物体的碰撞问题。

解题思路：

1. 下摆过程：细棒绕端点转动，机械能守恒，重力势能转化为转动动能。
2. 碰撞过程：完全弹性碰撞，角动量守恒（系统所受外力矩为零）和机械能守恒联立求解碰撞后的角速度和物块速度。
3. 滑动过程：对物块应用动能定理，摩擦力做功等于动能的减少。

关键点：

• 转动惯量：细棒绕端点转动时，$I = \frac{1}{3}ml^2$。
• 碰撞模型：弹性碰撞中角动量守恒需结合线动量与角动量的转换。

1. 棒下摆到竖直位置的角速度 $\omega_0$

机械能守恒：
初始重力势能 $mg\frac{l}{2}$ 转化为转动动能 $\frac{1}{2}I\omega_0^2$，其中转动惯量 $I = \frac{1}{3}ml^2$。
列方程：
$mg\frac{l}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}ml^2 \cdot \omega_0^2$
解得：
$\omega_0 = \sqrt{\frac{3g}{l}}$

2. 完全弹性碰撞后的角速度 $\omega$ 和物块速度 $v$

角动量守恒（以轴 $O$ 为参考点）：
碰撞前棒的角动量 $I\omega_0$，碰撞后棒的角动量 $I\omega$，物块的角动量 $Mv \cdot l$。
列方程：
$I\omega_0 = I\omega + Mvl$
机械能守恒：
碰撞前后动能守恒：
$\frac{1}{2}I\omega_0^2 = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}Mv^2$
联立解得：
$\omega = \frac{m-3M}{m+3M}\omega_0, \quad v = \frac{2ml}{m+3M}\omega_0$

3. 物块滑行距离 $s$

动能定理：
摩擦力做功 $- \mu Mgs$ 等于物块初动能的减少：
$-\mu Mgs = -\frac{1}{2}Mv^2$
代入 $v$ 的表达式，解得：
$s = \frac{6m^2l}{\mu(m+3M)^2}$