题目
10(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?
10(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的
个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面
的电通量是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用高斯定理
高斯定理表明，穿过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和除以真空介电常数。对于点电荷q，高斯定理可以表示为：${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{{\varepsilon }_{0}}$，其中${\varphi }_{e}$是电通量，q是电荷量，${\varepsilon }_{0}$是真空介电常数。
步骤 2：计算点电荷位于立方体中心时的电通量
当点电荷q位于立方体中心时，由于立方体的对称性，电通量均匀分布在六个面上。因此，每个面上的电通量为总电通量的六分之一，即${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：计算点电荷位于立方体顶点时的电通量
当点电荷q移动到立方体的一个顶点上时，为了应用高斯定理，可以将立方体扩展为边长为2a的立方体，使点电荷位于这个新立方体的中心。这样，新立方体的每个面上的电通量为${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。对于原立方体的每个面，如果它不包含点电荷所在的顶点，则电通量为新立方体面上电通量的四分之一，即${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{24{\varepsilon }_{0}}$。如果它包含点电荷所在的顶点，则电通量为0。
高斯定理表明，穿过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和除以真空介电常数。对于点电荷q，高斯定理可以表示为：${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{{\varepsilon }_{0}}$，其中${\varphi }_{e}$是电通量，q是电荷量，${\varepsilon }_{0}$是真空介电常数。
步骤 2：计算点电荷位于立方体中心时的电通量
当点电荷q位于立方体中心时，由于立方体的对称性，电通量均匀分布在六个面上。因此，每个面上的电通量为总电通量的六分之一，即${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：计算点电荷位于立方体顶点时的电通量
当点电荷q移动到立方体的一个顶点上时，为了应用高斯定理，可以将立方体扩展为边长为2a的立方体，使点电荷位于这个新立方体的中心。这样，新立方体的每个面上的电通量为${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。对于原立方体的每个面，如果它不包含点电荷所在的顶点，则电通量为新立方体面上电通量的四分之一，即${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{24{\varepsilon }_{0}}$。如果它包含点电荷所在的顶点，则电通量为0。