2.一半径为R的均匀带电球壳,带电总量为Q,设无穷远处为电势零点,-|||-试计算:(1)球壳内外的电场强度大小与方向;(2)球壳内外的电势。

考查要点：本题主要考查均匀带电球壳的电场强度和电势的计算，涉及高斯定理的应用以及电势的积分方法。

解题思路：

1. 电场强度：利用高斯定理，根据球对称性，分球壳内部（$r < R$）和外部（$r > R$）两种情况讨论。内部无电荷，场强为零；外部等效于点电荷场强。
2. 电势：以无穷远处为零电势，分内外积分电场强度。内部场强为零，电势等于球壳表面电势；外部直接积分点电荷场强。

关键点：

• 高斯面的选择：球对称性简化计算。
• 电势的路径无关性：积分时需注意场强分段表达。

第（1）题：球壳内外的电场强度

球壳内部（$r < R$）

• 高斯面内无电荷，由高斯定理 $\oint \overline{E} \cdot d\overline{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$，得 $Q_{\text{内}} = 0$。
• 结论：$E = 0$。

球壳外部（$r > R$）

• 高斯面包围总电荷 $Q$，由高斯定理得 $4\pi r^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$。
• 结论：$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$，方向沿半径向外。

第（2）题：球壳内外的电势

球壳内部（$r < R$）

• 内部场强为零，电势与球壳表面相等。
• 积分路径分为两段：从内部点 $r$ 到表面 $R$（场强为零），再从 $R$ 到无穷远（场强为 $\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$）。
• 计算：
  $U = \int_{r}^{R} 0 \, dr + \int_{R}^{\infty} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}.$

球壳外部（$r > R$）

• 直接从 $r$ 积分到无穷远：
• 计算：
  $U = \int_{r}^{\infty} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}.$