l33 l1-|||-→-|||-m 1 l22-|||-square (本题6分)质量m =10 kg、长l =40 cm的链条,放在光滑的水平桌面上,其一端系一细绳,通过滑轮悬挂着质量为m1 =10 kg的物体,如图所示.t = 0时,系统从静止开始运动, 这时l1 = l2 =20 cm< l3.设绳不伸长,轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计,求当链条刚刚全部滑到桌面上时,物体m1速度和加速度的大小.

步骤 1：确定系统运动方程
设链条在桌边悬挂部分为x，根据牛顿第二定律，对物体m1和链条m分别列出运动方程。
对于物体m1，有：
\[ m_1g - T = m_1a \]
对于链条m，有：
\[ T - \frac{m}{l}xg = ma \]
其中，T是绳子的张力，a是加速度，g是重力加速度。

步骤 2：求解加速度
将两个方程联立，消去T，得到：
\[ m_1g - \frac{m}{l}xg = (m_1 + m)a \]
\[ a = \frac{m_1g - \frac{m}{l}xg}{m_1 + m} \]
当链条刚刚全部滑到桌面上时，x = 0，代入上式，得到：
\[ a = \frac{m_1g}{m_1 + m} = \frac{10g}{10 + 10} = \frac{1}{2}g = 4.9 \, \text{m/s}^2 \]

步骤 3：求解速度
对加速度进行积分，得到速度。由于加速度是x的函数，需要先求出加速度随x的变化关系，再进行积分。
\[ a = \frac{1}{2}g(1 - \frac{x}{l}) \]
\[ dv = adx = \frac{1}{2}g(1 - \frac{x}{l})dx \]
对两边积分，得到：
\[ \int_0^{v_1} dv = \int_0^{l_2} \frac{1}{2}g(1 - \frac{x}{l})dx \]
\[ v_1 = \sqrt{g l_2 - \frac{1}{2}g \frac{l_2^2}{l}} = \sqrt{\frac{3}{4}g l_2} \]
代入l2 = 20 cm = 0.2 m，得到：
\[ v_1 = \sqrt{\frac{3}{4} \times 9.8 \times 0.2} = 1.21 \, \text{m/s} \]