题目
一根长为l、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上，现有一质量为m的子弹以水平速度v_0射向棒的中心，并以(v_0)over(2) 的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90°，则v_0的大小为( )A.({4M)over(m) }sqrt((gl)over{3) } B.sqrt((gl)over{2) } C.({2M)over(m) }sqrt((gl) ) D.({16M^2gl)over3(m^2) }
一根长为$l$、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上，现有一质量为m的子弹以水平速度$v_0$射向棒的中心，并以${v_0}\over{2} $的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90°，则$v_0$的大小为( )
A.${{4M}\over{m} }\sqrt{{gl}\over{3} } $
B.$\sqrt{{gl}\over{2} } $
C.${{2M}\over{m} }\sqrt{{gl} } $
D.${{16M^2gl}\over3{m^2} }$
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：子弹与棒的碰撞过程
子弹以水平速度$v_0$射向棒的中心，并以${v_0}\over{2} $的水平速度穿出棒。根据动量守恒定律，子弹与棒碰撞过程中，水平方向的动量守恒。设碰撞后棒的角速度为$\omega$，则有：
$$mv_0 = m\frac{v_0}{2} + Ml\omega$$
步骤 2：棒的转动动能与重力势能的转换
棒在碰撞后以角速度$\omega$开始转动，当棒的最大偏转角恰为90°时，棒的转动动能完全转化为重力势能。根据能量守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}I\omega^2 = Mgl$$
其中，$I$为棒的转动惯量，对于一根长为$l$、质量为$M$的匀质棒，其转动惯量为：
$$I = \frac{1}{3}Ml^2$$
步骤 3：求解$v_0$
将步骤 1 和步骤 2 中的方程联立，解出$v_0$。首先，将步骤 1 中的方程变形为：
$$\omega = \frac{mv_0}{2Ml}$$
将$\omega$代入步骤 2 中的方程，得到：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}Ml^2 \cdot \left(\frac{mv_0}{2Ml}\right)^2 = Mgl$$
化简得：
$$\frac{1}{24}mv_0^2 = gl$$
解得：
$$v_0 = \frac{2M}{m}\sqrt{gl}$$
子弹以水平速度$v_0$射向棒的中心，并以${v_0}\over{2} $的水平速度穿出棒。根据动量守恒定律，子弹与棒碰撞过程中，水平方向的动量守恒。设碰撞后棒的角速度为$\omega$，则有：
$$mv_0 = m\frac{v_0}{2} + Ml\omega$$
步骤 2：棒的转动动能与重力势能的转换
棒在碰撞后以角速度$\omega$开始转动，当棒的最大偏转角恰为90°时，棒的转动动能完全转化为重力势能。根据能量守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}I\omega^2 = Mgl$$
其中，$I$为棒的转动惯量，对于一根长为$l$、质量为$M$的匀质棒，其转动惯量为：
$$I = \frac{1}{3}Ml^2$$
步骤 3：求解$v_0$
将步骤 1 和步骤 2 中的方程联立，解出$v_0$。首先，将步骤 1 中的方程变形为：
$$\omega = \frac{mv_0}{2Ml}$$
将$\omega$代入步骤 2 中的方程，得到：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}Ml^2 \cdot \left(\frac{mv_0}{2Ml}\right)^2 = Mgl$$
化简得：
$$\frac{1}{24}mv_0^2 = gl$$
解得：
$$v_0 = \frac{2M}{m}\sqrt{gl}$$