题目
5-31 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷-|||-Q1和Q2,求:(1)各区域电势的分布,并画出分布曲线;(2)两球-|||-面上的电势差.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电势分布
在静电场中，电势分布可以通过电势叠加原理来确定。对于两个同心球面，我们可以分别计算每个球面产生的电势，然后将它们相加得到总电势。电势的计算公式为：$V = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q}{r}$，其中$Q$是电荷量，$r$是到电荷的距离。
步骤 2：计算不同区域的电势
- 对于$r < R_1$的区域，电势为0，因为电场线在球面内部是闭合的，没有电场线穿过。
- 对于$R_1 < r < R_2$的区域，电势由内球面的电荷$Q_1$产生，因为外球面的电荷$Q_2$对这个区域的电势没有贡献。因此，电势为$V = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{r}$。
- 对于$r > R_2$的区域，电势由两个球面的电荷$Q_1$和$Q_2$共同产生。因此，电势为$V = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{r} + \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_2}{r}$。
步骤 3：计算两球面上的电势差
两球面上的电势差可以通过计算$R_1$和$R_2$处的电势差来得到。$R_1$处的电势为$V_1 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_1}$，$R_2$处的电势为$V_2 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_2} + \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_2}{R_2}$。因此，电势差为$V_1 - V_2 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_1} - \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_2}$。
在静电场中，电势分布可以通过电势叠加原理来确定。对于两个同心球面，我们可以分别计算每个球面产生的电势，然后将它们相加得到总电势。电势的计算公式为：$V = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q}{r}$，其中$Q$是电荷量，$r$是到电荷的距离。
步骤 2：计算不同区域的电势
- 对于$r < R_1$的区域，电势为0，因为电场线在球面内部是闭合的，没有电场线穿过。
- 对于$R_1 < r < R_2$的区域，电势由内球面的电荷$Q_1$产生，因为外球面的电荷$Q_2$对这个区域的电势没有贡献。因此，电势为$V = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{r}$。
- 对于$r > R_2$的区域，电势由两个球面的电荷$Q_1$和$Q_2$共同产生。因此，电势为$V = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{r} + \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_2}{r}$。
步骤 3：计算两球面上的电势差
两球面上的电势差可以通过计算$R_1$和$R_2$处的电势差来得到。$R_1$处的电势为$V_1 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_1}$，$R_2$处的电势为$V_2 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_2} + \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_2}{R_2}$。因此，电势差为$V_1 - V_2 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_1} - \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q_1}{R_2}$。