题目
-5. 质量为m的物体用两个轻弹簧分别固定在以水平放置的气垫导轨的两端,弹簧的弹性系数分别是-|||-k1和k2。证明物体的左右运动为简谐振动,给出振动周期。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体受力情况
取水平向右为正方向，平衡位置为坐标原点。当物体偏离平衡位置x时，两个弹簧分别对物体施加力，方向相反。根据胡克定律，弹簧的弹力与位移成正比，即 $F_1 = -k_1x$ 和 $F_2 = -k_2x$。因此，物体所受的总力为 $F = F_1 + F_2 = -(k_1 + k_2)x$。
步骤 2：应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，物体所受的总力等于物体的质量乘以加速度，即 $F = ma$。将步骤1中的总力代入，得到 $-(k_1 + k_2)x = m\ddot{x}$，其中 $\ddot{x}$ 表示物体的加速度。
步骤 3：化简方程
将方程 $-(k_1 + k_2)x = m\ddot{x}$ 化简为 $\ddot{x} + \frac{k_1 + k_2}{m}x = 0$。令 $\omega^2 = \frac{k_1 + k_2}{m}$，则方程变为 $\ddot{x} + \omega^2x = 0$。这是一个简谐振动的方程，表明物体的运动是简谐振动。
步骤 4：计算振动周期
简谐振动的周期 $T$ 与角频率 $\omega$ 的关系为 $T = \frac{2\pi}{\omega}$。将 $\omega^2 = \frac{k_1 + k_2}{m}$ 代入，得到 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$。
取水平向右为正方向，平衡位置为坐标原点。当物体偏离平衡位置x时，两个弹簧分别对物体施加力，方向相反。根据胡克定律，弹簧的弹力与位移成正比，即 $F_1 = -k_1x$ 和 $F_2 = -k_2x$。因此，物体所受的总力为 $F = F_1 + F_2 = -(k_1 + k_2)x$。
步骤 2：应用牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，物体所受的总力等于物体的质量乘以加速度，即 $F = ma$。将步骤1中的总力代入，得到 $-(k_1 + k_2)x = m\ddot{x}$，其中 $\ddot{x}$ 表示物体的加速度。
步骤 3：化简方程
将方程 $-(k_1 + k_2)x = m\ddot{x}$ 化简为 $\ddot{x} + \frac{k_1 + k_2}{m}x = 0$。令 $\omega^2 = \frac{k_1 + k_2}{m}$，则方程变为 $\ddot{x} + \omega^2x = 0$。这是一个简谐振动的方程，表明物体的运动是简谐振动。
步骤 4：计算振动周期
简谐振动的周期 $T$ 与角频率 $\omega$ 的关系为 $T = \frac{2\pi}{\omega}$。将 $\omega^2 = \frac{k_1 + k_2}{m}$ 代入，得到 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$。