-5. 质量为m的物体用两个轻弹簧分别固定在以水平放置的气垫导轨的两端,弹簧的弹性系数分别是-|||-k1和k2。证明物体的左右运动为简谐振动,给出振动周期。

考查要点：本题主要考查简谐振动的条件判断及周期计算，需理解弹簧并联时的等效弹性系数，并建立运动微分方程。

解题核心思路：

1. 受力分析：物体受两个弹簧的弹力共同作用，总回复力为两弹簧弹力的矢量和。
2. 简谐振动条件：证明回复力满足 $F = -k_{\text{等效}}x$，从而确认简谐振动。
3. 周期公式推导：通过等效弹性系数 $k_{\text{等效}} = k_1 + k_2$，结合周期公式 $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{等效}}}}$ 得出结果。

破题关键点：

• 弹簧并联等效：两弹簧并联时，等效弹性系数为 $k_1 + k_2$，总回复力为两弹簧弹力的叠加。

受力分析与简谐振动证明

1. 建立坐标系：取平衡位置为坐标原点，水平向右为正方向。
2. 弹力计算：
   • 当物体向右移动 $x$ 时，左侧弹簧（弹性系数 $k_1$）被拉伸，产生弹力 $F_1 = -k_1 x$（方向向左）。
   • 右侧弹簧（弹性系数 $k_2$）被压缩，产生弹力 $F_2 = -k_2 x$（方向向左）。
3. 总回复力：
   $F = F_1 + F_2 = -(k_1 + k_2)x$
   满足 $F = -k_{\text{等效}}x$，符合简谐振动条件。

运动方程与周期推导

1. 牛顿第二定律：
   $m \frac{d^2x}{dt^2} = -(k_1 + k_2)x$
2. 标准简谐方程：
   $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k_1 + k_2}{m}x = 0$
   其中 $\omega^2 = \frac{k_1 + k_2}{m}$，角频率 $\omega = \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}$。
3. 周期公式：
   $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$