题目

已知反应釜端盖上受气体内压力及垫圈上压紧力的合力为 400(kN)，其法兰连接选用 Q235A 钢制 M24 的螺栓，螺栓的许用应力 [sigma]=54(MPa)，由螺纹标准查出 M24 的根径 d=20.7(mm)，试计算需要多少个螺栓（螺栓是沿圆周均匀分布，螺栓数应取 4 的倍数）。

已知反应釜端盖上受气体内压力及垫圈上压紧力的合力为 $400\text{kN}$，其法兰连接选用 Q235A 钢制 M24 的螺栓，螺栓的许用应力 $[\sigma]=54\text{MPa}$，由螺纹标准查出 M24 的根径 $d=20.7\text{mm}$，试计算需要多少个螺栓（螺栓是沿圆周均匀分布，螺栓数应取 4 的倍数）。

题目解答

答案

根据题意，单个螺栓的承载能力为： \[ F_{\text{单}} = [\sigma] \times A = 54 \times \frac{\pi (20.7)^2}{4} \approx 18.17 \, \text{kN} \] 总载荷 $ F = 400 \, \text{kN} $，所需螺栓数为： \[ n = \frac{400}{18.17} \approx 22.02 \] 取 $ n = 24 $（4的倍数），此时 $ F_{\text{单}} = \frac{400}{24} \approx 16.67 \, \text{kN} $，对应应力 $ \sigma \approx 49.5 \, \text{MPa} < 54 \, \text{MPa} $，满足要求。 若 $ n = 20 $，则 $ \sigma \approx 59.4 \, \text{MPa} > 54 \, \text{MPa} $，不符合要求。 答案：需要24个螺栓。

解析

本题考查的是根据螺栓的许用应力、根径以及总载荷来计算所需螺栓的数量，解题的关键在于先算出单个螺栓的承载能力，再根据总载荷求出理论所需螺栓数，最后结合螺栓数需取4的倍数这一条件确定最终的螺栓数，并验证其是否满足强度要求。

  1. 计算单个螺栓的承载能力：
    • 首先明确单个螺栓的承载能力公式为 $F_{\text{单}} = [\sigma] \times A$，其中 $[\sigma]$ 是许用应力，$A$ 是螺栓的横截面积。
    • 已知螺栓的根径 $d = 20.7\text{mm}$，根据圆的面积公式 $A=\frac{\pi d^{2}}{4}$，可得螺栓的横截面积 $A=\frac{\pi\times(20.7)^{2}}{4}\text{mm}^{2}$。
    • 又已知许用应力 $[\sigma]=54\text{MPa}=54\text{N/mm}^{2}$，将 $[\sigma]$ 和 $A$ 代入单个螺栓承载能力公式可得：
      $\begin{align*}F_{\text{单}}&=[\sigma] \times A\\&=54\times\frac{\pi\times(20.7)^{2}}{4}\\&\approx54\times\frac{3.14\times428.49}{4}\\&\approx54\times333.5\\&\approx18009\text{N}\\&\approx18.17\text{kN}\end{align*}$
  2. 计算理论所需螺栓数：
    • 已知总载荷 $F = 400\text{kN}$，根据所需螺栓数公式 $n=\frac{F}{F_{\text{单}}}$，可得：
      $n=\frac{400}{18.17}\approx22.02$
  3. 确定最终螺栓数并验证强度：
    • 因为螺栓数应取4的倍数，所以考虑 $n = 20$ 和 $n = 24$ 两种情况。
    • 当 $n = 24$ 时：
      • 此时单个螺栓的实际承载能力 $F_{\text{单}}=\frac{400}{24}\approx16.67\text{kN}=16670\text{N}$。
      • 根据应力公式 $\sigma=\frac{F_{\text{单}}}{A}$，可得此时的应力 $\sigma=\frac{16670}{\frac{\pi\times(20.7)^{2}}{4}}$
        $\begin{align*}\sigma&=\frac{16670}{\frac{3.14\times428.49}{4}}\\&=\frac{16670}{333.5}\\&\approx49.5\text{MPa}\end{align*}$
      • 由于 $49.5\text{MPa}\lt{}54\text{MPa}$，满足许用应力要求。
    • 当 $n = 20$ 时：
      • 此时单个螺栓的实际承载能力 $F_{\text{单}}=\frac{400}{20}=20\text{kN}=20000\text{N}$。
      • 则此时的应力 $\sigma=\frac{20000}{\frac{\pi\times(20.7)^{2}}{4}}$
        $\begin{align*}\sigma&=\frac{20000}{\frac{3.14\times428.49}{4}}\\&=\frac{20000}{333.5}\\&\approx59.4\text{MPa}\end{align*}$
      • 由于 $59.4\text{MPa}\gt{}54\text{MPa}$，不满足许用应力要求。