题目
4.质量为m的小球,在水中受的浮力F为常数,当它从静止开始下沉时,受到水的黏-|||-滞阻力为 =-kv, k为常数。求小球在水中竖直下沉时的速度v与时间t的关系,即 v=-|||-__ o
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定小球的受力情况
小球在水中受到重力 $mg$、浮力 $F$ 和黏滞阻力 $f=-kv$。根据牛顿第二定律，小球的加速度 $a$ 与合力 $F_{net}$ 之间的关系为 $F_{net} = ma$。因此，合力 $F_{net} = mg - F - kv$。
步骤 2：建立微分方程
根据牛顿第二定律，合力等于质量乘以加速度，即 $mg - F - kv = m \frac{dv}{dt}$。整理得到微分方程 $\frac{dv}{dt} = \frac{mg - F}{m} - \frac{k}{m}v$。
步骤 3：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，可以使用分离变量法求解。将方程改写为 $\frac{dv}{\frac{mg - F}{m} - \frac{k}{m}v} = dt$。对两边积分，得到 $\int \frac{dv}{\frac{mg - F}{m} - \frac{k}{m}v} = \int dt$。令 $A = \frac{mg - F}{m}$，$B = \frac{k}{m}$，则方程变为 $\int \frac{dv}{A - Bv} = \int dt$。积分后得到 $-\frac{1}{B} \ln|A - Bv| = t + C$，其中 $C$ 是积分常数。整理得到 $A - Bv = Ce^{-Bt}$。代回 $A$ 和 $B$ 的值，得到 $mg - F - kv = (mg - F)e^{-\frac{kt}{m}}$。解出 $v$，得到 $v = \frac{mg - F}{k}(1 - e^{-\frac{kt}{m}})$。
步骤 4：确定积分常数
当 $t = 0$ 时，$v = 0$，代入上式得到 $0 = \frac{mg - F}{k}(1 - e^{0})$，即 $0 = \frac{mg - F}{k}(1 - 1)$，这表明积分常数 $C$ 的值为 $mg - F$。
小球在水中受到重力 $mg$、浮力 $F$ 和黏滞阻力 $f=-kv$。根据牛顿第二定律，小球的加速度 $a$ 与合力 $F_{net}$ 之间的关系为 $F_{net} = ma$。因此，合力 $F_{net} = mg - F - kv$。
步骤 2：建立微分方程
根据牛顿第二定律，合力等于质量乘以加速度，即 $mg - F - kv = m \frac{dv}{dt}$。整理得到微分方程 $\frac{dv}{dt} = \frac{mg - F}{m} - \frac{k}{m}v$。
步骤 3：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，可以使用分离变量法求解。将方程改写为 $\frac{dv}{\frac{mg - F}{m} - \frac{k}{m}v} = dt$。对两边积分，得到 $\int \frac{dv}{\frac{mg - F}{m} - \frac{k}{m}v} = \int dt$。令 $A = \frac{mg - F}{m}$，$B = \frac{k}{m}$，则方程变为 $\int \frac{dv}{A - Bv} = \int dt$。积分后得到 $-\frac{1}{B} \ln|A - Bv| = t + C$，其中 $C$ 是积分常数。整理得到 $A - Bv = Ce^{-Bt}$。代回 $A$ 和 $B$ 的值，得到 $mg - F - kv = (mg - F)e^{-\frac{kt}{m}}$。解出 $v$，得到 $v = \frac{mg - F}{k}(1 - e^{-\frac{kt}{m}})$。
步骤 4：确定积分常数
当 $t = 0$ 时，$v = 0$，代入上式得到 $0 = \frac{mg - F}{k}(1 - e^{0})$，即 $0 = \frac{mg - F}{k}(1 - 1)$，这表明积分常数 $C$ 的值为 $mg - F$。