题目

5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后,振幅仍为A,则这两个简谐运动的相位差为( )(A) 60°(B) 90°(C) 120°(D) 180°

5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后,振幅仍为A,则这两个简谐运动的相位差为( )

(A) 60°

(B) 90°

(D) 180°

题目解答

答案

两个简谐运动可以表示为：

$y_1 = A \cos(wt)$

$y_2 = A \cos(wt + \phi)$

其中， $\phi$ 是两个简谐运动的相位差。

当两个简谐运动合成时，合成的振幅由下式给出：

$y = y_1 + y_2 = A \cos(wt) + A \cos(wt + \phi)$

我们可以用三角恒等式来简化这个表达式：

$y = 2A \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) \cos\left(wt + \frac{\phi}{2}\right)$

题目中说合成后的振幅仍为A，那么我们有：

$A = 2A \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)$

$\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$ $\frac{\phi}{2} = 60^{\circ} \text{ 或 } 300^{\circ}$ $\frac{\phi}{2} = 60^{\circ} \text{ 或 } 300^{\circ}$ $\phi = 120^{\circ} \text{ 或 } 240^{\circ}$

因此，这两个简谐运动的相位差为120°，所以正确答案是 (C) 120°。

解析

步骤 1：表示两个简谐运动
两个简谐运动可以表示为：
$y_1=A\cos (\omega t)$
$y_2=A\cos (\omega t+\phi )$
其中，$\phi$ 是两个简谐运动的相位差。

步骤 2：合成简谐运动
当两个简谐运动合成时，合成的振幅由下式给出：
$y=y_1+y_2=A\cos (\omega t)+A\cos (\omega t+\phi )$
我们可以用三角恒等式来简化这个表达式：
$y=2A\cos (\dfrac {\phi }{2})\cos (\omega t+\dfrac {\phi }{2})$

步骤 3：确定相位差
题目中说合成后的振幅仍为A，那么我们有：
$A=2A\cos (\dfrac {\phi }{2})$
$\cos (\dfrac {\phi }{2})=\dfrac {1}{2}$
$\dfrac {\phi }{2}={60}^{\circ }$ 或300°
$\phi ={120}^{\circ }$ 或240°