图示一厚度为 d的 “无限大”均匀带电平板,电荷体密度为.试求板内外的场强分布,并画出场强在X轴的投影值随坐标变化的图线,即图线(设原点在带电平板的中央平面上,OX轴垂直于平板).

考查要点：本题主要考查利用高斯定理求解对称性电荷分布的场强，重点在于理解无限大均匀带电平板的电场分布特性。

解题核心思路：

1. 对称性分析：平板电荷分布关于中心平面高度对称，场强方向垂直于平板，大小仅与坐标绝对值相关。
2. 分区域讨论：分别在板内和板外构造高斯面，利用高斯定理计算场强。
3. 符号处理：注意场强方向与坐标$x$的正负关系，最终结果需体现方向。

破题关键点：

• 板内高斯面：选取底面积为$S$、高度为$2|x|$的高斯柱面，计算内部电荷量。
• 板外高斯面：选取包含整个平板的高斯柱面，计算总电荷量。
• 方向判断：通过$x$的正负确定场强方向，板内场强线性变化，板外场强恒定。

板内场强（$-\frac{d}{2} \leq x \leq \frac{d}{2}$）

1. 构造高斯面：取底面积为$S$、高度为$2|x|$的高斯柱面，两底面距离中心平面均为$|x|$。
2. 计算总电荷：高斯面内电荷体积为$S \cdot 2|x|$，总电荷$Q = \rho \cdot S \cdot 2|x|$。
3. 应用高斯定理：
   $E_1 \cdot 2S = \frac{\rho \cdot S \cdot 2|x|}{\varepsilon_0} \implies E_1 = \frac{\rho |x|}{\varepsilon_0}$
4. 方向确定：场强方向与$x$同向，故$E_{1x} = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$。

板 outfield（$x > \frac{d}{2}$或$x < -\frac{d}{2}$）

1. 构造高斯面：取底面积为$S$、高度为$d$的高斯柱面，包含整个平板。
2. 计算总电荷：平板总电荷$Q = \rho \cdot S \cdot d$。
3. 应用高斯定理：
   $E_2 \cdot 2S = \frac{\rho \cdot S \cdot d}{\varepsilon_0} \implies E_2 = \frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$
4. 方向确定：
   • $x > \frac{d}{2}$时，场强向外，$E_{2x} = \frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$；
   • $x < -\frac{d}{2}$时，场强向内，$E_{2x} = -\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$。