平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M_1的重物，小球作匀速圆周运动，当半径为r_0时重物达到平衡，今在M_1下方再挂一质量为M_2的物体，试问这时小球作匀速圆周运动的角速度omega '和半径r'为多少？m o-|||-M1-|||-M2

考查要点：本题主要考查匀速圆周运动的向心力来源、平衡条件及角动量守恒的应用。

解题核心思路：

1. 平衡条件：当系统平衡时，细线的拉力等于悬挂物的总重量。
2. 向心力公式：小球的向心力由细线的拉力提供，即 $m\omega^2 r = T$。
3. 角动量守恒：在拉力变化过程中，若无外力矩作用，小球的角动量保持不变，即 $m r^2 \omega$ 为定值。

破题关键点：

• 原平衡状态下，拉力 $T_1 = M_1 g$，对应角速度 $\omega_0 = \sqrt{\frac{M_1 g}{m r_0}}$。
• 悬挂 $M_2$ 后，总拉力变为 $T_2 = (M_1 + M_2)g$，需联立角动量守恒与新的平衡条件求解 $\omega'$ 和 $r'$。

原平衡状态分析

1. 拉力与向心力关系：
   $m \omega_0^2 r_0 = M_1 g \quad \Rightarrow \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{M_1 g}{m r_0}}.$

悬挂 $M_2$ 后的平衡与角动量守恒

1. 新的拉力与向心力关系：
   $m \omega'^2 r' = (M_1 + M_2)g.$
2. 角动量守恒：
   $m r_0^2 \omega_0 = m r'^2 \omega' \quad \Rightarrow \quad r_0^2 \omega_0 = r'^2 \omega'.$

联立方程求解

1. 代入 $\omega_0$ 到角动量守恒方程：
   $r_0^2 \sqrt{\frac{M_1 g}{m r_0}} = r'^2 \omega' \quad \Rightarrow \quad \omega' = \frac{r_0^{3/2} \sqrt{\frac{M_1 g}{m}}}{r'^2}.$
2. 代入 $\omega'$ 到新的平衡方程：
   $m \left( \frac{r_0^{3/2} \sqrt{\frac{M_1 g}{m}}}{r'^2} \right)^2 r' = (M_1 + M_2)g.$
3. 化简得半径关系：
   $r'^3 = \frac{M_1 r_0^3}{M_1 + M_2} \quad \Rightarrow \quad r' = r_0 \sqrt[3]{\frac{M_1}{M_1 + M_2}}.$
4. 代入 $r'$ 求角速度：
   $\omega' = \sqrt{\frac{M_1 g}{m r_0}} \cdot \left( \frac{M_1 + M_2}{M_1} \right)^{2/3}.$