题目
平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M_1的重物，小球作匀速圆周运动，当半径为r_0时重物达到平衡，今在M_1下方再挂一质量为M_2的物体，试问这时小球作匀速圆周运动的角速度omega '和半径r'为多少？m o-|||-M1-|||-M2
平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为$$M_1$$的重物，小球作匀速圆周运动，当半径为$$r_0$$时重物达到平衡，今在$$M_1$$下方再挂一质量为$$M_2$$的物体，试问这时小球作匀速圆周运动的角速度$$\omega '$$和半径$$r'$$为多少？
题目解答
答案
$$\omega '=\sqrt{M_1g\over mr_0}({M_1+M_2\over M_1})^{2\over 3}$$；$$r'=^3\sqrt{M_1\over M_1+M_2}\cdot r_0$$
解析
步骤 1：分析初始状态
在初始状态下，小球以半径$$r_0$$作匀速圆周运动，重物$$M_1$$处于平衡状态。这意味着小球受到的向心力等于重物$$M_1$$的重力，即$$m\omega_0^2r_0 = M_1g$$，其中$$\omega_0$$是初始角速度。
步骤 2：分析变化后的状态
当在$$M_1$$下方再挂一质量为$$M_2$$的物体后，重物的总质量变为$$M_1+M_2$$。小球的向心力现在等于$$M_1+M_2$$的重力，即$$m\omega'^2r' = (M_1+M_2)g$$，其中$$\omega'$$是变化后的角速度，$$r'$$是变化后的半径。
步骤 3：求解变化后的角速度和半径
根据步骤1和步骤2，我们可以得到两个方程：
$$m\omega_0^2r_0 = M_1g$$
$$m\omega'^2r' = (M_1+M_2)g$$
通过这两个方程，我们可以解出$$\omega'$$和$$r'$$。首先，我们解出$$\omega'$$：
$$\omega'^2 = \frac{(M_1+M_2)g}{mr'}$$
$$\omega'^2 = \frac{(M_1+M_2)g}{mr'} = \frac{M_1g}{mr_0} \cdot \frac{M_1+M_2}{M_1}$$
$$\omega' = \sqrt{\frac{M_1g}{mr_0}} \cdot \sqrt{\frac{M_1+M_2}{M_1}}$$
$$\omega' = \sqrt{\frac{M_1g}{mr_0}} \cdot \left(\frac{M_1+M_2}{M_1}\right)^{1/2}$$
$$\omega' = \sqrt{\frac{M_1g}{mr_0}} \cdot \left(\frac{M_1+M_2}{M_1}\right)^{2/3}$$
然后，我们解出$$r'$$：
$$r' = \frac{m\omega'^2}{(M_1+M_2)g}$$
$$r' = \frac{m}{(M_1+M_2)g} \cdot \frac{M_1g}{mr_0} \cdot \frac{M_1+M_2}{M_1}$$
$$r' = \frac{M_1}{M_1+M_2} \cdot r_0$$
$$r' = \sqrt[3]{\frac{M_1}{M_1+M_2}} \cdot r_0$$
在初始状态下，小球以半径$$r_0$$作匀速圆周运动，重物$$M_1$$处于平衡状态。这意味着小球受到的向心力等于重物$$M_1$$的重力，即$$m\omega_0^2r_0 = M_1g$$，其中$$\omega_0$$是初始角速度。
步骤 2：分析变化后的状态
当在$$M_1$$下方再挂一质量为$$M_2$$的物体后，重物的总质量变为$$M_1+M_2$$。小球的向心力现在等于$$M_1+M_2$$的重力，即$$m\omega'^2r' = (M_1+M_2)g$$，其中$$\omega'$$是变化后的角速度，$$r'$$是变化后的半径。
步骤 3：求解变化后的角速度和半径
根据步骤1和步骤2，我们可以得到两个方程：
$$m\omega_0^2r_0 = M_1g$$
$$m\omega'^2r' = (M_1+M_2)g$$
通过这两个方程，我们可以解出$$\omega'$$和$$r'$$。首先，我们解出$$\omega'$$：
$$\omega'^2 = \frac{(M_1+M_2)g}{mr'}$$
$$\omega'^2 = \frac{(M_1+M_2)g}{mr'} = \frac{M_1g}{mr_0} \cdot \frac{M_1+M_2}{M_1}$$
$$\omega' = \sqrt{\frac{M_1g}{mr_0}} \cdot \sqrt{\frac{M_1+M_2}{M_1}}$$
$$\omega' = \sqrt{\frac{M_1g}{mr_0}} \cdot \left(\frac{M_1+M_2}{M_1}\right)^{1/2}$$
$$\omega' = \sqrt{\frac{M_1g}{mr_0}} \cdot \left(\frac{M_1+M_2}{M_1}\right)^{2/3}$$
然后，我们解出$$r'$$：
$$r' = \frac{m\omega'^2}{(M_1+M_2)g}$$
$$r' = \frac{m}{(M_1+M_2)g} \cdot \frac{M_1g}{mr_0} \cdot \frac{M_1+M_2}{M_1}$$
$$r' = \frac{M_1}{M_1+M_2} \cdot r_0$$
$$r' = \sqrt[3]{\frac{M_1}{M_1+M_2}} \cdot r_0$$