题目
10.37 如图10.68所示,半径为a、带正电荷且线密度是λ(常量)的半圆以-|||-角速度w绕轴O`O"匀速旋转,求:-|||-(1)O点处的B.-|||-(2)旋转的带电半圆的磁矩pm·-|||-(积分公式: (int )_(0)^pi (sin )^2theta dtheta =dfrac (1)(2)pi )-|||-a-|||-a-|||-O-|||-图10.68
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电流元
半圆带电体的线密度为λ，因此在半圆上任一点的电荷元为dq = λds，其中ds是弧长元素。由于半圆以角速度ω旋转，因此电荷元dq在旋转时形成电流元di = dq/τ = λds/τ，其中τ是旋转周期，τ = 2π/ω。因此，电流元为di = λωds/2π。
步骤 2：计算O点处的磁感应强度B
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元di在空间某点产生的磁感应强度dB为：
dB = (μ₀/4π) * (di × r) / r³
其中，μ₀是真空磁导率，r是电流元到该点的距离，r是r的模。对于半圆上的电流元di，r = a，且di与r垂直，因此dB = (μ₀/4π) * (λωds/2π) / a²。积分整个半圆，得到O点处的磁感应强度B：
B = ∫dB = (μ₀λω/8π²a²) * ∫ds = (μ₀λω/8π²a²) * πa = μ₀λω/8πa
方向根据右手定则，指向垂直于纸面向外。
步骤 3：计算旋转的带电半圆的磁矩pm
磁矩pm定义为电流I与面积S的乘积，即pm = I * S。对于旋转的带电半圆，电流I = λωa/2π，面积S = πa²/2。因此，磁矩pm = (λωa/2π) * (πa²/2) = λωa³/4。
半圆带电体的线密度为λ，因此在半圆上任一点的电荷元为dq = λds，其中ds是弧长元素。由于半圆以角速度ω旋转，因此电荷元dq在旋转时形成电流元di = dq/τ = λds/τ，其中τ是旋转周期，τ = 2π/ω。因此，电流元为di = λωds/2π。
步骤 2：计算O点处的磁感应强度B
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元di在空间某点产生的磁感应强度dB为：
dB = (μ₀/4π) * (di × r) / r³
其中，μ₀是真空磁导率，r是电流元到该点的距离，r是r的模。对于半圆上的电流元di，r = a，且di与r垂直，因此dB = (μ₀/4π) * (λωds/2π) / a²。积分整个半圆，得到O点处的磁感应强度B：
B = ∫dB = (μ₀λω/8π²a²) * ∫ds = (μ₀λω/8π²a²) * πa = μ₀λω/8πa
方向根据右手定则，指向垂直于纸面向外。
步骤 3：计算旋转的带电半圆的磁矩pm
磁矩pm定义为电流I与面积S的乘积，即pm = I * S。对于旋转的带电半圆，电流I = λωa/2π，面积S = πa²/2。因此，磁矩pm = (λωa/2π) * (πa²/2) = λωa³/4。