5-7 已知一平面简谐波沿x轴正方向传播,周期 =0.5s, 波长 lambda =10m, 振幅 A=-|||-0.1m.当 t=0 时,波源振动的位移恰好为正的最大值.若波源处取作坐标原点,求:-|||-(1)沿波传播方向距离波源为 lambda /2 处质点的振动方程;-|||-(2)当 t=T/2 时, =lambda /4 处质点的振动速度.

步骤 1：确定波的角频率和波数
根据题目给出的周期 $T=0.5s$ 和波长 $\lambda=10m$，可以计算出角频率 $\omega$ 和波数 $k$。
角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \text{ rad/s}$
波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$

步骤 2：写出波源处的振动方程
由于波源处的振动位移在 $t=0$ 时为正的最大值，即 $y(0,0)=A$，所以波源处的振动方程为 $y(x,t)=A\cos(\omega t - kx)$。将 $A=0.1m$，$\omega=4\pi$，$k=\frac{\pi}{5}$ 代入，得到波源处的振动方程为 $y(x,t)=0.1\cos(4\pi t - \frac{\pi}{5}x)$。

步骤 3：求解距离波源为 $\lambda/2$ 处质点的振动方程
将 $x=\lambda/2=5m$ 代入波源处的振动方程，得到 $y(5,t)=0.1\cos(4\pi t - \frac{\pi}{5}\cdot5)=0.1\cos(4\pi t - \pi)$。

步骤 4：求解当 $t=T/2$ 时，$x=\lambda/4$ 处质点的振动速度
将 $t=T/2=0.25s$ 和 $x=\lambda/4=2.5m$ 代入波源处的振动方程，得到 $y(2.5,0.25)=0.1\cos(4\pi \cdot 0.25 - \frac{\pi}{5}\cdot2.5)=0.1\cos(\pi - \frac{\pi}{2})=-0.1$。
振动速度 $v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin(\omega t - kx)$，将 $A=0.1m$，$\omega=4\pi$，$k=\frac{\pi}{5}$，$t=0.25s$，$x=2.5m$ 代入，得到 $v=-0.1\cdot4\pi\sin(4\pi \cdot 0.25 - \frac{\pi}{5}\cdot2.5)=-0.4\pi\sin(\pi - \frac{\pi}{2})=-0.4\pi\cdot1=-1.26m/s$。