四.现有一台2m３的全混流反应器,进行液相一级不可逆反应:A→2R,当处理量Q=1m3/h时,出口转化率达80%。现在原反应器后串联一只反应器,反应温度相同。若为了使处理量增加一倍,则问:(1)串联一只全混流反应器,总出口转化率仍为80%,该反应体积为多大?(2)若串联一只2 m3的活塞流反应器,总出口转化率可达多少?

四、全混流反应器串联问题

本题主要考查一级不可逆反应在全混流反应器（CSTR）和活塞流反应器（PFR）中的动力学计算，解题关键在于利用一级反应的动力学方程以及不同反应器的设计方程进行计算。

（1）串联一只全混流反应器

• 首先，根据一级不可逆反应$A \to 2R$的动力学方程，对于全混流反应器，其设计方程为$V = \frac{Q_0C_{A0}x_A}{kC_{A0}(1 - x_A)}=\frac{Q_0x_A}{k(1 - x_A)}$。
• 已知原反应器$V_1 = 2m^3$，$Q_0 = 1m^3/h$，$x_{A1}=0.8$，将这些值代入设计方程可求出反应速率常数$k$：
  $\begin{align*}k&=\frac{Q_0x_{A1}}{V_1(1 - x_{A1})}\\&=\frac{1\times0.8}{2\times(1 - 0.8)}\\&= 2h^{-1}\end{align*}$
• 现在处理量增加一倍，即$Q_0' = 2m^3/h$，总出口转化率仍为$80\%$，设串联的全混流反应器体积为$V_{r2}$。
• 对于两个串联的全混流反应器，第一个反应器出口转化率$x_{A1}$满足$x_{A1}=\frac{kV_{r1}}{kV_{r1}+Q_0'}$，这里$V_{r1}=2m^3$，$Q_0' = 2m^3/h$，$k = 2h^{-1}$，则：
  $\begin{align*}x_{A1}&=\frac{2\times2}{2\times2 + 2}\\&=\frac{4}{6}\\&=\frac{2}{3}\end{align*}$
• 再根据全混流反应器设计方程求$V_{r2}$：
  $\begin{align*}V_{r2}&=\frac{Q_0'(x_{A2}-x_{A1})}{k(1 - x_{A2})}\\&=\frac{2\times(0.8-\frac{2}{3})}{2\times(1 - 0.8)}\\&=\frac{2\times(\frac{24 - 20}{30})}{2\times0.2}\\&=\frac{2\times\frac{4}{30}}{0.4}\\&=\frac{\frac{4}{15}}{0.4}\\&=\frac{4}{15}\times\frac{10}{4}\\&=\frac{2}{3}m^3\end{align*}$

（2）串联一只$2m^3$的活塞流反应器

• 同样先求出$k = 2h^{-1}$，处理量$Q_0' = 2m^3/h$。
• 第一个全混流反应器出口转化率$x_{A1}=\frac{kV_{r1}}{kV_{r1}+Q_0'}=\frac{2\times2}{2\times2 + 2}=\frac{2}{3}$。
• 对于活塞流反应器，其设计方程为$V_{r2}=\frac{Q_0'}{k}\int_{x_{A1}}^{x_{A2}}\frac{dx_A}{1 - x_A}$，已知$V_{r2}=2m^3$，$Q_0' = 2m^3/h$，$k = 2h^{-1}$，则：
  $\begin{align*}2&=\frac{2}{2}\int_{\frac{2}{3}}^{x_{A2}}\frac{dx_A}{1 - x_A}\\2&=-\ln(1 - x_A)\big|_{\frac{2}{3}}^{x_{A2}}\\2&=-\ln(1 - x_{A2})+\ln(1 - \frac{2}{3})\\2&=-\ln(1 - x_{A2})+\ln\frac{1}{3}\\\ln(1 - x_{A2})&=\ln\frac{1}{3}-2\\1 - x_{A2}&=e^{\ln\frac{1}{3}-2}\\1 - x_{A2}&=\frac{1}{3e^2}\\x_{A2}&=1-\frac{1}{3e^2}\approx0.955\end{align*}$

五、等温平行反应问题

本题考查等温平行反应在不同反应器（PFR、CSTR、两个串联CSTR）中的总收率计算，关键在于利用选择性与转化率的关系以及不同反应器的设计方程进行积分或代数运算。

（1）在PFR中进行反应时R的总收率

• 已知$S = 0.6 + 2x_A - 5x_A^2$，当$S = 0.5$时，$0.6 + 2x_{Af}-5x_{Af}^2 = 0.5$，解这个一元二次方程：
  $\begin{align*}5x_{Af}^2 - 2x_{Af}-0.1&=0\\x_{Af}&=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4\times5\times(-0.1)}}{2\times5}\\&=\frac{2\pm\sqrt{4 + 2}}{10}\\&=\frac{2\pm\sqrt{6}}{10}\end{align*}$
  取正根$x_{Af}\approx0.445$。
• 在PFR中，总收率$Y_{PF}=\int_{0}^{x_{Af}}Sdx_A=\int_{0}^{0.445}(0.6 + 2x_A - 5x_A^2)dx_A$
  $\begin{align*}Y_{PF}&=(0.6x_A + x_A^2-\frac{5}{3}x_A^3)\big|_{0}^{0.445}\\&=0.6\times0.445 + 0.445^2-\frac{5}{3}\times0.445^3\\&\approx0.267+0.198 - 0.147\\&=0.318\end{align*}$

（2）在CSTR中进行反应时R的总收率

• 在CSTR中，总收率$Y_{CSTR}=S\times x_{Af}$，已知$S = 0.5$，$x_{Af}=0.445$，则$Y_{CSTR}=0.5\times0.445 = 0.2225$。

（3）在两个串联的CSTR中进行

• 设第一釜出口转化率为$x_{A1}$，则总收率$Y_{PF}=(0.6 + 2x_{A1}-5x_{A1}^2)x_{A1}+0.5\times(0.445 - x_{A1})$。
• 对$Y_{PF}$求关于$x_{A1}$的导数并令其为$0$：
  $\begin{align*}\frac{dY_{PF}}{dx_{A1}}&=(0.6 + 2x_{A1}-5x_{A1}^2)+x_{A1}(2 - 10x_{A1})-0.5\\&=0.6 + 2x_{A1}-5x_{A1}^2+2x_{A1}-10x_{A1}^2 - 0.5\\&=-15x_{A1}^2 + 4x_{A1}+0.1 = 0\end{align*}$
  解这个一元二次方程：
  $\begin{align*}x_{A1}&=\frac{-4\pm\sqrt{4^2 - 4\times(-15)\times0.1}}{2\times(-15)}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{16 + 6}}{-30}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{22}}{-30}\end{align*}$
  取正根$x_{A1}\approx0.29$。
• 将$x_{A1}=0.29$代入总收率表达式求最大总收率：
  $\begin{align*}Y_{PF}&=(0.6 + 2\times0.29-5\times0.29^2)\times0.29+0.5\times(0.445 - 0.29)\\&=(0.6 + 0.58 - 0.4205)\times0.29+0.5\times0.155\\&=0.7595\times0.29+0.0775\\&\approx0.2203+0.0775\\&=0.298\end{align*}$