有一正薄透镜对某一物成倒立的实像，像高为物高的一半，今将物面向透镜移近100mm，所得像与物同大小，求该正透镜组的焦距。

考查要点：本题主要考查凸透镜成像规律的应用，特别是放大率与物距、像距的关系，以及两次成像条件下联立方程求解焦距的能力。

解题核心思路：

1. 确定两次成像的放大率：第一次成像放大率为$\frac{1}{2}$，第二次放大率为$1$。
2. 利用放大率公式$m = \frac{v}{u}$，结合透镜公式$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$，建立两次成像的方程。
3. 联立方程：通过物距的变化量（移动$100\text{mm}$）联立求解焦距$f$。

破题关键点：

• 第一次成像：放大率$m_1 = \frac{1}{2}$，推导出物距$u_1 = 3f$。
• 第二次成像：放大率$m_2 = 1$，说明物距$u_2 = 2f$。
• 物距变化关系：$u_1 - u_2 = 100\text{mm}$，代入联立得$f = 100\text{mm}$。

第一次成像分析

1. 放大率公式：
   由题意，像高为物高的一半，放大率$m_1 = \frac{1}{2}$，根据放大率公式$m = \frac{v}{u}$，得：
   $\frac{v_1}{u_1} = \frac{1}{2} \implies v_1 = \frac{u_1}{2}.$

2. 透镜公式代入：
   将$v_1 = \frac{u_1}{2}$代入透镜公式$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$，得：
   $\frac{1}{u_1} + \frac{2}{u_1} = \frac{1}{f} \implies \frac{3}{u_1} = \frac{1}{f} \implies u_1 = 3f.$

第二次成像分析

1. 放大率公式：
   像与物同大，放大率$m_2 = 1$，即$v_2 = u_2$。

2. 透镜公式代入：
   将$v_2 = u_2$代入透镜公式，得：
   $\frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f} \implies \frac{2}{u_2} = \frac{1}{f} \implies u_2 = 2f.$

联立方程求解

1. 物距变化关系：
   物体移动$100\text{mm}$，即$u_1 - u_2 = 100\text{mm}$。
   代入$u_1 = 3f$和$u_2 = 2f$，得：
   $3f - 2f = 100\text{mm} \implies f = 100\text{mm}.$