.1-7 一质点沿半径为R的圆周按规律 =(v)_(0)t-dfrac (1)(2)b(t)^2 运动,v0、b都是常量.求t时刻质点-|||-的总加速度.

考查要点：本题主要考查圆周运动中质点的加速度计算，涉及切向加速度和法向加速度的分解。

解题核心思路：

1. 确定运动学方程：题目给出路程随时间变化的规律 $s = v_0 t - \frac{1}{2} b t^2$，需通过求导得到速度和切向加速度。
2. 分解加速度：总加速度由切向加速度（速度大小变化引起的加速度）和法向加速度（速度方向变化引起的加速度）组成。
3. 合成总加速度：利用勾股定理合成两个分量的大小，并通过反正切函数确定方向。

破题关键点：

• 正确求导：对 $s(t)$ 一阶导数求速度，二阶导数求切向加速度。
• 法向加速度公式：$a_n = \frac{v^2}{R}$，需代入当前时刻的速度值。
• 矢量合成：总加速度的大小和方向需通过分量计算。

1. 求速度 $v$

对路程 $s(t)$ 求一阶导数：
$v = \frac{ds}{dt} = v_0 - b t$

2. 求切向加速度 $a_1$

对速度 $v(t)$ 求导：
$a_1 = \frac{dv}{dt} = -b$

3. 求法向加速度 $a_n$

根据公式 $a_n = \frac{v^2}{R}$，代入速度 $v = v_0 - b t$：
$a_n = \frac{(v_0 - b t)^2}{R}$

4. 合成总加速度

• 大小：总加速度为切向和法向分量的矢量和：
  $a = \sqrt{a_1^2 + a_n^2} = \sqrt{(-b)^2 + \left( \frac{(v_0 - b t)^2}{R} \right)^2}$
  化简得：
  $a = \frac{\sqrt{R^2 b^2 + (v_0 - b t)^4}}{R}$
• 方向：与切线方向的夹角 $\theta$ 满足：
  $\tan \theta = \frac{a_n}{a_1} = \frac{\frac{(v_0 - b t)^2}{R}}{-b} = -\frac{(v_0 - b t)^2}{R b}$
  因此：
  $\theta = \arctan \left( -\frac{(v_0 - b t)^2}{R b} \right)$