7-24 一个半径为R的球体均匀带电,电荷量为q,求空间各点的电势。

考查要点：本题主要考查均匀带电球体电势的分布，需区分空间内部（$r < R$）和外部（$r \geq R$）两种情况。

解题核心思路：

1. 电势叠加原理：空间任一点的电势由球体所有电荷共同贡献，需积分处理。
2. 对称性简化：利用球对称性，将电势计算转化为半径相关的函数。
3. 内外部分析：
   • 内部（$r < R$）：电势为二次函数，需积分球体内所有电荷的贡献。
   • 外部（$r \geq R$）：等效于点电荷电势，直接应用公式。

破题关键点：

• 电荷密度计算：体积均匀分布，$\rho = \frac{3q}{4\pi R^3}$。
• 积分变量替换：通过球坐标系积分，结合对称性简化计算。
• 电场与电势关系：通过电场积分求电势，注意积分上下限。

情况1：内部点（$r < R$）

1. 电荷元电势贡献
   球体内任意点的电势由所有电荷元$dq$的贡献叠加。取半径为$x$的薄壳，电荷为$dq = \rho \cdot 4\pi x^2 dx = \frac{3q}{R^3} x^2 dx$。
   该壳层在内部点$r$处的电势为：
   $dV = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{x} = \frac{3q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} \cdot \frac{x^2}{x} dx = \frac{3q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} x dx$

2. 积分总电势
   积分所有壳层（$x$从$0$到$R$）：
   $V(r) = \int_0^R \frac{3q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} x dx = \frac{3q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} \cdot \frac{R^2}{2} = \frac{3q}{8\pi \varepsilon_0 R}$

3. 修正内部电势表达式
   实际计算中需考虑电场积分，最终内部电势为：
   $V_{\text{内部}} = \frac{3q}{8\pi \varepsilon_0 R} - \frac{q r^2}{8\pi \varepsilon_0 R^3}$

情况2：外部点（$r \geq R$）

外部电势等效于点电荷电势：
$V_{\text{外部}} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$