题目
7-24 一个半径为R的球体均匀带电,电荷量为q,求空间各点的电势。
题目解答
答案
7-24 V_{1}=\\frac{3 q}{8 \\pi \\varepsilon_{0}R}-\\frac{qr^{2}}{8 \\pi \\varepsilon_{0}R^{3}},( 当 rR 时)。
解析
步骤 1：确定电势的计算方法
电势是电场中某点的电势能与电荷量的比值。对于一个均匀带电的球体，电势的计算可以分为两种情况：球体内部和球体外部。球体内部的电势可以通过积分电场强度来计算，而球体外部的电势则可以通过点电荷的电势公式来计算。
步骤 2：计算球体外部的电势
球体外部的电势计算可以使用点电荷的电势公式。对于一个点电荷q，其在距离r处的电势为：
\[ V_{2} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \]
其中，\( \varepsilon_{0} \) 是真空介电常数，r 是球体中心到该点的距离。
步骤 3：计算球体内部的电势
球体内部的电势计算需要考虑球体内部的电场分布。对于一个均匀带电的球体，其内部的电场强度与距离球心的距离r成正比，即：
\[ E(r) = \frac{q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \]
球体内部的电势可以通过积分电场强度来计算，即：
\[ V_{1} = \int_{0}^{r} E(r) dr = \int_{0}^{r} \frac{q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} dr = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \int_{0}^{r} r dr = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \frac{r^{2}}{2} = \frac{q r^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \]
球体内部的电势还需要加上球体表面的电势，即：
\[ V_{1} = \frac{3 q}{8 \pi \varepsilon_{0} R} - \frac{q r^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \]
电势是电场中某点的电势能与电荷量的比值。对于一个均匀带电的球体，电势的计算可以分为两种情况：球体内部和球体外部。球体内部的电势可以通过积分电场强度来计算，而球体外部的电势则可以通过点电荷的电势公式来计算。
步骤 2：计算球体外部的电势
球体外部的电势计算可以使用点电荷的电势公式。对于一个点电荷q，其在距离r处的电势为：
\[ V_{2} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \]
其中，\( \varepsilon_{0} \) 是真空介电常数，r 是球体中心到该点的距离。
步骤 3：计算球体内部的电势
球体内部的电势计算需要考虑球体内部的电场分布。对于一个均匀带电的球体，其内部的电场强度与距离球心的距离r成正比，即：
\[ E(r) = \frac{q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \]
球体内部的电势可以通过积分电场强度来计算，即：
\[ V_{1} = \int_{0}^{r} E(r) dr = \int_{0}^{r} \frac{q r}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} dr = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \int_{0}^{r} r dr = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \frac{r^{2}}{2} = \frac{q r^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \]
球体内部的电势还需要加上球体表面的电势，即：
\[ V_{1} = \frac{3 q}{8 \pi \varepsilon_{0} R} - \frac{q r^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \]