题目

现有两个同心薄导体球面A和B，半径分别为RA和RA两个同心球面A和B均匀带电,内球面A带电为RA，外球面带电RA，设球壳间的介电常数RA，求:(1)两球面之间距离球心为r处的P点的电势大小;(2)P点与球心O之间的电势差RA。

现有两个同心薄导体球面A和B，半径分别为 $R_A$ 和 $R_B$ 两个同心球面A和B均匀带电,内球面A带电为 $Q_1$ ，外球面带电 $Q_2$ ，设球壳间的介电常数 $\varepsilon_0$ ，求:

(1)两球面之间距离球心为r处的P点的电势大小;

(2)P点与球心O之间的电势差 $U_O-U_P$ 。

题目解答

答案

（1）取无穷远处电势为零，由高斯定理可知：

$\oint_S^{ }E\cdot dS=\frac{q}{\varepsilon_0}$

结合题意可得到各部分的电场强度大小即：

$E_1=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}\ \ \ R_B<\rho<\infty$

$E_2=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}\ \ \ R_A<\rho<R_B$

所以距离球心为r处的P点的电势大小为：

$U_P=\int_{R_B}^{\infty}\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}d\rho+\int_{R_A}^{R_B}\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}d\rho=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0R_B}+\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r}$

（2）由高斯定理可知：薄导体球面内部无电荷，因此其内部电场为零，所以P点与球心O之间的电势差为：

$U_O-U_P=\int_{R_A}^r\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}d\rho=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{r}\right)$

解析

步骤 1：确定电场分布
根据高斯定理，对于均匀带电的球面，电场分布可以分为三个区域：球面内部、球面之间和球面外部。由于球面A和B是均匀带电的，我们可以根据高斯定理计算出各区域的电场强度。

步骤 2：计算电势
电势可以通过电场的积分得到。对于球面A和B之间的区域，电势可以通过积分电场强度来计算。由于电场强度是径向的，积分路径可以沿着径向进行。

步骤 3：计算电势差
电势差可以通过计算两个点的电势之差来得到。对于P点与球心O之间的电势差，可以计算P点的电势减去球心O的电势。