题目
7.6 如图所示,半径为R的半圆环,上半部分均匀分布电荷 +Q, 下半部分均匀分布电-|||-荷 -Q, 坐标系Oxy如图所示,求圆心O点的电场强度.-|||-+-|||-十 1-|||-+ 1-|||-R-|||-x-|||-十-|||-O-|||-一-|||-y
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷分布
半圆环上半部分均匀分布电荷 +Q，下半部分均匀分布电荷 -Q。由于电荷分布均匀，可以将电荷分布看作是连续的线电荷分布。
步骤 2：计算电场强度
由于电荷分布对称，上半部分和下半部分在圆心O点产生的电场强度在x方向上的分量相互抵消，只留下y方向上的分量。因此，我们只需要计算上半部分或下半部分在圆心O点产生的电场强度的y方向分量，然后将它们相加。
步骤 3：计算上半部分电荷在圆心O点产生的电场强度
上半部分电荷在圆心O点产生的电场强度的y方向分量为：
$$
E_{y}^{+} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{Q}{\pi R} \frac{R \sin \theta}{R^2} d\theta = \frac{Q}{4\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta = \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}
$$
步骤 4：计算下半部分电荷在圆心O点产生的电场强度
下半部分电荷在圆心O点产生的电场强度的y方向分量为：
$$
E_{y}^{-} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{-Q}{\pi R} \frac{R \sin \theta}{R^2} d\theta = -\frac{Q}{4\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \int_{\pi}^{2\pi} \sin \theta d\theta = \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}
$$
步骤 5：计算总电场强度
总电场强度为上半部分和下半部分电场强度的y方向分量之和：
$$
E_y = E_{y}^{+} + E_{y}^{-} = \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} + \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} = \frac{Q}{\pi^2 \varepsilon_0 R^2}
$$
半圆环上半部分均匀分布电荷 +Q，下半部分均匀分布电荷 -Q。由于电荷分布均匀，可以将电荷分布看作是连续的线电荷分布。
步骤 2：计算电场强度
由于电荷分布对称，上半部分和下半部分在圆心O点产生的电场强度在x方向上的分量相互抵消，只留下y方向上的分量。因此，我们只需要计算上半部分或下半部分在圆心O点产生的电场强度的y方向分量，然后将它们相加。
步骤 3：计算上半部分电荷在圆心O点产生的电场强度
上半部分电荷在圆心O点产生的电场强度的y方向分量为：
$$
E_{y}^{+} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{Q}{\pi R} \frac{R \sin \theta}{R^2} d\theta = \frac{Q}{4\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta = \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}
$$
步骤 4：计算下半部分电荷在圆心O点产生的电场强度
下半部分电荷在圆心O点产生的电场强度的y方向分量为：
$$
E_{y}^{-} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{-Q}{\pi R} \frac{R \sin \theta}{R^2} d\theta = -\frac{Q}{4\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \int_{\pi}^{2\pi} \sin \theta d\theta = \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}
$$
步骤 5：计算总电场强度
总电场强度为上半部分和下半部分电场强度的y方向分量之和：
$$
E_y = E_{y}^{+} + E_{y}^{-} = \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} + \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} = \frac{Q}{\pi^2 \varepsilon_0 R^2}
$$