题目
电荷q均匀分布在长为2L细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势（设无穷远处为电势零点）
电荷q均匀分布在长为2L细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势（设无穷远处为电势零点）
题目解答
答案
u=\\frac{q}{8 \\pi \\varepsilon 0 L}\\ln\\frac{2 L+a}{a}
解析
步骤 1：确定电荷分布和电势公式
细杆上电荷均匀分布，设线电荷密度为λ=q/2L。在点P处的电势由细杆上各点电荷对P点的电势贡献叠加而成。电势公式为：V = k∫dq/r，其中k为库仑常数，dq为细杆上微小电荷，r为微小电荷到P点的距离。
步骤 2：建立积分表达式
设细杆的中点为原点，细杆沿x轴方向，P点位于x=a+L处。细杆上任一点x处的微小电荷为dq=λdx。微小电荷到P点的距离为r=|x-(a+L)|。因此，P点的电势为：V = k∫_{-L}^{L} λdx / |x-(a+L)|。
步骤 3：计算积分
将λ=q/2L代入积分表达式，得到：V = kq/2L ∫_{-L}^{L} dx / |x-(a+L)|。由于积分区间关于原点对称，可以将积分区间分为两部分：∫_{-L}^{0} dx / (a+L-x) + ∫_{0}^{L} dx / (x-(a+L))。计算这两个积分，得到：V = kq/2L [ln(a+L+x) - ln(x-(a+L))]_{-L}^{L} = kq/2L [ln(2L+a) - ln(a)] = kq/2L ln((2L+a)/a)。
步骤 4：代入库仑常数
将库仑常数k=1/(4πε0)代入上式，得到：V = q/(8πε0L) ln((2L+a)/a)。
细杆上电荷均匀分布，设线电荷密度为λ=q/2L。在点P处的电势由细杆上各点电荷对P点的电势贡献叠加而成。电势公式为：V = k∫dq/r，其中k为库仑常数，dq为细杆上微小电荷，r为微小电荷到P点的距离。
步骤 2：建立积分表达式
设细杆的中点为原点，细杆沿x轴方向，P点位于x=a+L处。细杆上任一点x处的微小电荷为dq=λdx。微小电荷到P点的距离为r=|x-(a+L)|。因此，P点的电势为：V = k∫_{-L}^{L} λdx / |x-(a+L)|。
步骤 3：计算积分
将λ=q/2L代入积分表达式，得到：V = kq/2L ∫_{-L}^{L} dx / |x-(a+L)|。由于积分区间关于原点对称，可以将积分区间分为两部分：∫_{-L}^{0} dx / (a+L-x) + ∫_{0}^{L} dx / (x-(a+L))。计算这两个积分，得到：V = kq/2L [ln(a+L+x) - ln(x-(a+L))]_{-L}^{L} = kq/2L [ln(2L+a) - ln(a)] = kq/2L ln((2L+a)/a)。
步骤 4：代入库仑常数
将库仑常数k=1/(4πε0)代入上式，得到：V = q/(8πε0L) ln((2L+a)/a)。