一列沿x轴正向传播的简谐波,已知波长 =4 m,T=4 s。若坐标原点处质点的y-t曲线如图F-13-2所示,求波函数。

考查要点：本题主要考查简谐波波函数的建立，涉及波的基本参数（波速、角频率、初相）的确定，以及如何从质点振动图像获取初始条件。

解题核心思路：

1. 确定波的基本参数：利用已知波长$\lambda$和周期$T$，计算波速$v$和角频率$\omega$。
2. 分析质点振动图像：通过原点处质点的振动图像确定振幅$A$和初相$\varphi$。
3. 构建波函数：将参数代入简谐波的标准形式$f(x,t)=A\cos[\omega(t-\frac{x}{v})+\varphi]$。

破题关键点：

• 波速与角频率：$v=\frac{\lambda}{T}$，$\omega=\frac{2\pi}{T}$。
• 初相确定：通过$t=0$时质点的位移和速度方向确定$\varphi$。

步骤1：计算波速和角频率

已知$\lambda=4\ \text{m}$，$T=4\ \text{s}$，则：

• 波速：$v=\frac{\lambda}{T}=\frac{4}{4}=1\ \text{m/s}$。
• 角频率：$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \text{rad/s}$。

步骤2：确定振幅和初相

从原点质点的振动图像可知：

• 振幅：质点的最大位移为$A=1\times10^{-2}\ \text{m}$（图像中$y$轴标注为$10^{-2}\ \text{m}$，故数值$1$对应$1\times10^{-2}\ \text{m}$）。
• 初相：当$t=0$，$x=0$时，质点位移为$y=A\cos\varphi$。由图像$t=0$时$y=0.5\times10^{-2}\ \text{m}$，得：
  $A\cos\varphi=0.5\times10^{-2}\ \text{m} \implies \cos\varphi=0.5 \implies \varphi=\frac{\pi}{3}.$

步骤3：构建波函数

将参数代入简谐波标准形式：
$f(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right].$
代入$A=1\times10^{-2}\ \text{m}$，$\omega=\frac{\pi}{2}$，$v=1\ \text{m/s}$，$\varphi=\frac{\pi}{3}$，得：
$f(x,t)=1\times10^{-2}\cos\left[\frac{\pi}{2}\left(t-x\right)+\frac{\pi}{3}\right].$
题目中未明确要求振幅单位，简化后可写作：
$f(x,t)=\cos\left[\frac{\pi}{2}(t-x)+\frac{\pi}{3}\right].$