题目
一个质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F。当它从静止开始沉降时，受到水的黏滞阻力大小为f＝kv （k为常数）。证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为 式中t为从沉降开始计算的时间。
一个质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F。当它从静止开始沉降时，受到水的黏滞阻力大小为f＝kv （k为常数）。证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为 式中t为从沉降开始计算的时间。
题目解答
答案
小球在水中竖直沉降时受力为竖直向下的重力、竖直向上的浮力和黏滞力。根据牛顿运动定律列方程有m =mg-F-f=mg-F-kv （1）由初始条件t=0时v=0。将式（1）整理并积分有 （2）完成积分并求解可得小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为 （3） 小球在水中竖直沉降时受力为竖直向下的重力、竖直向上的浮力和黏滞力。根据牛顿运动定律列方程有m=mg-F-f=mg-F-kv（1）由初始条件t=0时,v=0。将式（1）整理并积分有（2）完成积分并求解,可得小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为（3）
解析
步骤 1：确定小球受力情况
小球在水中竖直沉降时，受到竖直向下的重力mg、竖直向上的浮力F和黏滞阻力f=kv。根据牛顿第二定律，小球的加速度a与合力成正比，即ma = mg - F - kv。
步骤 2：建立微分方程
将步骤1中的力关系式改写为微分方程形式，即m(dv/dt) = mg - F - kv。整理得dv/dt = (mg - F)/m - (k/m)v。这是一个一阶线性微分方程。
步骤 3：求解微分方程
对步骤2中的微分方程进行求解。首先，分离变量得dv/[(mg - F)/m - (k/m)v] = dt。然后，对两边积分，得∫dv/[(mg - F)/m - (k/m)v] = ∫dt。积分后得-(m/k)ln[(mg - F)/m - (k/m)v] = t + C。由初始条件t=0时v=0，可得C=-(m/k)ln[(mg - F)/m]。代入C的值，整理得v = [(mg - F)/k](1 - e^(-kt/m))。
小球在水中竖直沉降时，受到竖直向下的重力mg、竖直向上的浮力F和黏滞阻力f=kv。根据牛顿第二定律，小球的加速度a与合力成正比，即ma = mg - F - kv。
步骤 2：建立微分方程
将步骤1中的力关系式改写为微分方程形式，即m(dv/dt) = mg - F - kv。整理得dv/dt = (mg - F)/m - (k/m)v。这是一个一阶线性微分方程。
步骤 3：求解微分方程
对步骤2中的微分方程进行求解。首先，分离变量得dv/[(mg - F)/m - (k/m)v] = dt。然后，对两边积分，得∫dv/[(mg - F)/m - (k/m)v] = ∫dt。积分后得-(m/k)ln[(mg - F)/m - (k/m)v] = t + C。由初始条件t=0时v=0，可得C=-(m/k)ln[(mg - F)/m]。代入C的值，整理得v = [(mg - F)/k](1 - e^(-kt/m))。