题目
1.3.6 附图中均匀带电圆环的半径为R,总电荷为q.-|||-(1)求轴线上离环心O为x处的电场强度E;-|||-(2)轴线上何处电场强度最大?其值是多少?-|||-(3)大致画出 E-x 曲线.-|||-R-|||-x P
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电场强度的表达式
考虑圆环上任意一点的电荷元dq对轴线上一点P的电场贡献。根据库仑定律，dq在P点产生的电场强度为$dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$，其中r是dq到P点的距离。由于圆环对称，所有dq在P点的电场强度的垂直分量相互抵消，只有水平分量叠加。因此，P点的总电场强度为$E=\int dE_{x}=\int \dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}\cos \theta$。其中，$\cos \theta =\dfrac {x}{r}$，$r=\sqrt {{x}^{2}+{R}^{2}}$，dq是圆环上电荷元，dq的总和为q。因此，$E=\dfrac {qx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({R}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}}$。
步骤 2：确定电场强度最大值的位置
为了找到电场强度最大值的位置，我们需要对E关于x求导，并令导数等于0。即$\dfrac {dE}{dx}=0$。对$E=\dfrac {qx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({R}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}}$求导，得到$\dfrac {dE}{dx}=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\left(\dfrac {{R}^{2}-{2x}^{2}}{{({R}^{2}+{x}^{2})}^{5/2}}\right)$。令$\dfrac {dE}{dx}=0$，得到${R}^{2}-{2x}^{2}=0$，解得$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$。因此，电场强度最大值的位置为$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$。
步骤 3：计算电场强度最大值
将$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$代入电场强度表达式$E=\dfrac {qx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({R}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}}$，得到${E}_{max}=\dfrac {q}{6\sqrt {3}\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
步骤 4：画出E-x曲线
E-x曲线大致为先增加后减少的形状，最大值出现在$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$处，最大值为${E}_{max}=\dfrac {q}{6\sqrt {3}\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
考虑圆环上任意一点的电荷元dq对轴线上一点P的电场贡献。根据库仑定律，dq在P点产生的电场强度为$dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$，其中r是dq到P点的距离。由于圆环对称，所有dq在P点的电场强度的垂直分量相互抵消，只有水平分量叠加。因此，P点的总电场强度为$E=\int dE_{x}=\int \dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}\cos \theta$。其中，$\cos \theta =\dfrac {x}{r}$，$r=\sqrt {{x}^{2}+{R}^{2}}$，dq是圆环上电荷元，dq的总和为q。因此，$E=\dfrac {qx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({R}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}}$。
步骤 2：确定电场强度最大值的位置
为了找到电场强度最大值的位置，我们需要对E关于x求导，并令导数等于0。即$\dfrac {dE}{dx}=0$。对$E=\dfrac {qx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({R}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}}$求导，得到$\dfrac {dE}{dx}=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\left(\dfrac {{R}^{2}-{2x}^{2}}{{({R}^{2}+{x}^{2})}^{5/2}}\right)$。令$\dfrac {dE}{dx}=0$，得到${R}^{2}-{2x}^{2}=0$，解得$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$。因此，电场强度最大值的位置为$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$。
步骤 3：计算电场强度最大值
将$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$代入电场强度表达式$E=\dfrac {qx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({R}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}}$，得到${E}_{max}=\dfrac {q}{6\sqrt {3}\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
步骤 4：画出E-x曲线
E-x曲线大致为先增加后减少的形状，最大值出现在$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}R$处，最大值为${E}_{max}=\dfrac {q}{6\sqrt {3}\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。