题目
10-10 一波源作简谐振动,周期为 dfrac (1)(100)s, 振幅为0.1m,经平衡位置向正方向运动-|||-时作为计时起点.设此振动以 =400mcdot (s)^-1 的速度沿直线传播,以波源处为原点,波传-|||-播方向为x轴正向-|||-(1)试写出波动方程;-|||-(2)求 _(1)=16m 处的质点在 _(1)=0.01s 时的运动状态(位移和振动速度);-|||-(3)此运动状态在哪一时刻传至 _(2)=40m 处?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波动方程
波动方程的一般形式为 $y=A\cos(\omega t-\dfrac{\omega}{u}x+\phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$u$ 是波速，$\phi$ 是初相位。根据题目条件，振幅 $A=0.1m$，周期 $T=\dfrac{1}{100}s$，波速 $u=400m\cdot{s}^{-1}$。角频率 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=200\pi rad\cdot{s}^{-1}$。由于波源在平衡位置向正方向运动时作为计时起点，初相位 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$。因此，波动方程为 $y=0.1\cos(200\pi t-\dfrac{200\pi}{400}x-\dfrac{\pi}{2})=0.1\cos(200\pi t-\dfrac{\pi}{2}x-\dfrac{\pi}{2})$。
步骤 2：求 ${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的运动状态
将 $x=16m$ 和 $t=0.01s$ 代入波动方程，得到 $y(16,0.01)=0.1\cos(200\pi \times 0.01-\dfrac{\pi}{2}\times 16-\dfrac{\pi}{2})=0.1\cos(2\pi-8\pi-\dfrac{\pi}{2})=0.1\cos(-\dfrac{17\pi}{2})=0$。因此，${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的位移为 0。振动速度 $u=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-0.1\times 200\pi\sin(200\pi t-\dfrac{\pi}{2}x-\dfrac{\pi}{2})$，将 $x=16m$ 和 $t=0.01s$ 代入，得到 $u(16,0.01)=-0.1\times 200\pi\sin(2\pi-8\pi-\dfrac{\pi}{2})=-0.1\times 200\pi\sin(-\dfrac{17\pi}{2})=62.8m\cdot{s}^{-1}$。
步骤 3：求此运动状态在哪一时刻传至 ${x}_{2}=40m$ 处
波速 $u=400m\cdot{s}^{-1}$，因此，波从 ${x}_{1}=16m$ 处传至 ${x}_{2}=40m$ 处所需的时间为 $\Delta t=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{u}=\dfrac{40-16}{400}=0.06s$。因此，此运动状态在 ${t}_{1}+\Delta t=0.01+0.06=0.07s$ 时传至 ${x}_{2}=40m$ 处。
波动方程的一般形式为 $y=A\cos(\omega t-\dfrac{\omega}{u}x+\phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$u$ 是波速，$\phi$ 是初相位。根据题目条件，振幅 $A=0.1m$，周期 $T=\dfrac{1}{100}s$，波速 $u=400m\cdot{s}^{-1}$。角频率 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=200\pi rad\cdot{s}^{-1}$。由于波源在平衡位置向正方向运动时作为计时起点，初相位 $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$。因此，波动方程为 $y=0.1\cos(200\pi t-\dfrac{200\pi}{400}x-\dfrac{\pi}{2})=0.1\cos(200\pi t-\dfrac{\pi}{2}x-\dfrac{\pi}{2})$。
步骤 2：求 ${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的运动状态
将 $x=16m$ 和 $t=0.01s$ 代入波动方程，得到 $y(16,0.01)=0.1\cos(200\pi \times 0.01-\dfrac{\pi}{2}\times 16-\dfrac{\pi}{2})=0.1\cos(2\pi-8\pi-\dfrac{\pi}{2})=0.1\cos(-\dfrac{17\pi}{2})=0$。因此，${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的位移为 0。振动速度 $u=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-0.1\times 200\pi\sin(200\pi t-\dfrac{\pi}{2}x-\dfrac{\pi}{2})$，将 $x=16m$ 和 $t=0.01s$ 代入，得到 $u(16,0.01)=-0.1\times 200\pi\sin(2\pi-8\pi-\dfrac{\pi}{2})=-0.1\times 200\pi\sin(-\dfrac{17\pi}{2})=62.8m\cdot{s}^{-1}$。
步骤 3：求此运动状态在哪一时刻传至 ${x}_{2}=40m$ 处
波速 $u=400m\cdot{s}^{-1}$，因此，波从 ${x}_{1}=16m$ 处传至 ${x}_{2}=40m$ 处所需的时间为 $\Delta t=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{u}=\dfrac{40-16}{400}=0.06s$。因此，此运动状态在 ${t}_{1}+\Delta t=0.01+0.06=0.07s$ 时传至 ${x}_{2}=40m$ 处。